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b. Das Quantum

§ 101

[214] Die Quantität wesentlich gesetzt mit der ausschließenden Bestimmtheit, die in ihr enthalten ist, ist Quantum, begrenzte Quantität.

§ 102

Das Quantum hat seine Entwicklung und vollkommene Bestimmtheit in der Zahl, die als ihr Element das Eins, nach dem Momente der Diskretion die Anzahl, nach dem der Kontinuität die Einheit als seine qualitativen Momente in sich enthält.

In der Arithmetik pflegen die Rechnungsarten als zufällige Weisen, die Zahlen zu behandeln, aufgeführt zu werden. Wenn in ihnen eine Notwendigkeit und damit ein Verstand liegen soll, so muß derselbe in einem Prinzip, und dies kann nur in den Bestimmungen liegen, die in dem Begriffe der Zahl selbst enthalten sind; dies Prinzip soll hier kurz aufgezeigt werden. – Die Bestimmungen des Begriffs der Zahl sind die Anzahl und die Einheit, und die Zahl selbst ist die Einheit beider. Die Einheit aber, auf empirische Zahlen angewendet, ist nur die Gleichheit derselben; so muß das Prinzip der Rechnungsarten sein,[214] Zahlen in das Verhältnis von Einheit und Anzahl zu setzen und die Gleichheit dieser Bestimmungen hervorzubringen.

Indem die Eins oder die Zahlen selbst gleichgültig gegeneinander sind, so erscheint die Einheit, in welche sie versetzt werden, überhaupt als ein äußerliches Zusammenfassen. Rechnen ist darum überhaupt Zählen, und der Unterschied der Arten zu rechnen liegt allein in der qualitativen Beschaffenheit der Zahlen, die zusammengezählt werden, und für die Beschaffenheit ist die Bestimmung von Einheit und Anzahl das Prinzip.

Numerieren ist das erste, die Zahl überhaupt machen, ein Zusammenfassen von beliebig vielen Eins. – Eine Rechnungsart aber ist das Zusammenzählen von solchen, die schon Zahlen, nicht mehr das bloße Eins sind.

Die Zahlen sind unmittelbar und zuerst ganz unbestimmt Zahlen überhaupt, ungleich daher überhaupt; das Zusammenfassen oder Zählen von solchen ist Addieren.

Die nächste Bestimmung ist, daß die Zahlen gleich überhaupt sind, damit machen sie eine Einheit aus, und es ist eine Anzahl solcher vorhanden; solche Zahlen zu zählen ist das Multiplizieren, – wobei es gleichgültig ist, wie die Bestimmungen von Anzahl und Einheit an die beiden Zahlen, die Faktoren, verteilt werden, welche für die Anzahl und welche dagegen für die Einheit genommen wird.

Die dritte Bestimmtheit ist endlich die Gleichheit der Anzahl und der Einheit. Das Zusammenzählen so bestimmter Zahlen ist das Erheben in die Potenz – und zunächst in das Quadrat. – Das weitere Potenzieren ist das formelle, wieder in die unbestimmte Anzahl ausgehende Fortsetzen der Multiplikation der Zahl mit sich selbst. – Da in dieser dritten Bestimmung die vollkommene Gleichheit des einzigen vorhandenen Unterschieds, der Anzahl und der Einheit, erreicht ist, so kann es nicht mehrere als diese drei Rechnungsarten geben. – Dem Zusammenzählen entspricht[215] das Auflösen der Zahlen nach denselben Bestimmtheiten. Es gibt daher neben den drei angeführten Arten, welche insofern die positiven genannt werden können, auch drei negative.