Vierundzwanzigstes Capitel.

Von den übrig bleibenden Naturgesetzen.

[147] §. 1. Alle Behauptungen, welche sich durch die Sprache angeben lassen, drücken eines oder mehrere von fünf verschiedenen Dingen aus, Existenz, Ordnung im Raum, Ordnung in der Zeit, Verursachung und Aehnlichkeit. Da aber nach unserer Betrachtung des Gegenstandes die Verursachung von der Ordnung in der Zeit nicht fundamental verschieden ist, so werden dadurch die fünf möglichen Arten von Behauptungen auf vier zurückgeführt. Die Urtheile, welche eine Ordnung in der Zeit in einer der zwei Arten, Zugleichsein oder Folge (Coexistenz oder Succession), behaupten, haben bisher den Gegenstand unserer Untersuchung gebildet. Soweit sie innerhalb der diesem Werke angewiesenen Grenzen fällt, haben wir nun die Exposition der Natur des Beweises, worauf diese Urtheile beruhen, und die Untersuchungsweisen, wodurch sie entdeckt und bewiesen werden, beendigt. Es bleiben nun noch drei Classen von Thatsachen übrig, Existenz, Ordnung im Raume und Aehnlichkeit, in Beziehung auf welche dieselben Fragen nun zu lösen sind.

In Beziehung auf die erste ist nur wenig zu sagen. Die Existenz im allgemeinen ist ein Gegenstand nicht unserer Wissenschaft, sondern der Metaphysik. Zu bestimmen, welche Dinge unabhängig von unseren sinnlichen oder anderen Eindrücken als wirklich existirend erkannt werden können, und in welcher Bedeutung das Wort in diesem Falle von ihnen zu gebrauchen ist, gehört einer Betrachtung »der Dinge an sich« an, wovon wir uns durch das ganze Werk hindurch soviel als möglich fern hielten. So weit es die Logik betrifft, bezieht sich die Existenz nur auf Naturerscheinungen, auf wirkliche oder mögliche Zustände des äusseren[147] oder inneren Bewusstseins von uns selbst oder von Anderen. Die Gefühle sensitiver Wesen, oder die Möglichkeit, solche Gefühle zu haben, sind die einzigen Dinge, welche ein Gegenstand logischer Induction sein können, weil sie die einzigen Dinge sind, deren Existenz in individuellen Fällen ein Gegenstand der Erfahrung sein kann.

Es ist wahr, dass wir sogar dann noch sagen, ein Ding existire, wenn es abwesend ist und daher nicht wahrgenommen wird und werden kann. Aber auch dann noch ist uns seine Existenz nur ein anderes Wort für unsere Ueberzeugung, dass wir es unter einer gewissen Voraussetzung wahrnehmen würden, wenn wir uns in den erforderlichen Umständen von Zeit und Ort befänden und mit der nöthigen Vollkommenheit der Organe ausgestattet wären. Mein Glaube, dass der Kaiser von China existirt, ist einfach mein Glaube, dass, wenn ich in den kaiserlichen Palast oder in eine andere Localität von Peking gebracht würde, ich ihn sehen würde. Mein Glaube, dass Julius Cäsar existirt hat, ist mein Glaube, dass ich ihn gesehen haben würde, wenn ich auf der pharsalischen Ebene oder in dem Senatsgebäude zu Rom anwesend gewesen wäre. Wenn ich glaube, dass ausserhalb der äussersten Grenze meines durch die besten Instrumente unterstützten Sehvermögens Sterne existiren, so ist philosophisch ausgedrückt mein Glaube der, dass mit noch besseren Instrumenten, als den existirenden, ich sie sehen würde, oder dass sie von Wesen, welche weniger von ihnen entfernt sind, oder deren Wahrnehmungsvermögen grösser als das meinige ist, wahrgenommen werden können.

Die Existenz eines Phänomens ist daher nur ein anderes Wort für die Wahrnehmung desselben, oder für die gefolgerte Möglichlichkeit es wahrzunehmen. Wenn das Phänomen in dem Bereiche der gegenwärtigen Beobachtung ist, so überzeugen wir uns durch gegenwärtige Beobachtung von seiner Existenz; wenn es ausserhalb dieses Bereiches ist und daher abwesend genannt wird, so folgern wir seine Existenz aus Merkmalen oder Beweisen. Aber was können dies für Beweise sein? Andere Phänomene, von denen durch Induction erwiesen ist, dass sie mit dem gegebenen Phänomen entweder durch Succession oder Coexistenz im Zusammenhang stehen. Die einfache Existenz eines individuellen Phänomens, wenn sie nicht direct wahrgenommen wird, wird daher aus einem inductiven[148] Gesetz der Folge oder der Coexistenz gefolgert, und ist folglich nicht auf irgend besondere inductive Principien zurückführbar. Wir beweisen die Existenz eines Dinges, indem wir beweisen, dass es durch Folge oder Zugleichsein mit einem bekannten Dinge verknüpft ist.

Was allgemeine Urtheile dieser Art betrifft, nämlich solche, welche die blosse Thatsache der Existenz behaupten, so besitzen diese eine Eigenthümlichkeit, welche die logische Behandlung derselben zu einer ganz leichten Sache macht; sie sind Generalisationen, welche durch einen einzigen Fall hinreichend bewiesen sind. Dass Geister, Einhörner oder Seeschlangen existiren, wäre völlig bewiesen, wenn es positiv bewiesen werden könnte, dass ein solches Ding einmal gesehen worden ist. Was einmal geschehen ist, kann wiederholt geschehen, die einzige Frage bezieht sich auf die Bedingungen, unter denen es geschieht.

Soweit es also die einfache Existenz betrifft hat die inductive Logik keinen Knoten zu lösen, und wir können zu den beiden übrigen der grossen Classen, in welche die Thatsachen eingetheilt wurden, übergehen, zu der Aehnlichkeit und der Ordnung im Raum.

§. 2. Die Aehnlichkeit und ihr Entgegengesetztes werden mit Ausnahme des Falles, in dem sie die Namen von Gleichheit und Ungleichheit annehmen, selten als Gegenstände der Wissenschaft betrachtet; man nimmt an, sie würden durch die einfache Apprehension wahrgenommen, indem wir gleichzeitig oder in unmittelbarer Folge auf die zwei betreffenden Gegenstände bloss unsere Sinne anwenden oder unsere Aufmerksamkeit richten. Und diese gleichzeitige oder virtuell gleichzeitige Anwendung unserer Fähigkeiten auf die zwei Dinge, welche mit einander zu vergleichen sind, bildet nothwendig die letzte Berufung überall, wo nur immer eine solche Anwendung thunlich ist. In den meisten Fällen ist sie aber nicht thunlich; die Gegenstände können nicht so nahe zusammengebracht werden, dass das Gefühl ihrer Aehnlichkeit (wenigstens ein vollständiges Gefühl derselben) unmittelbar in dem Geiste entsteht. Wir können nur einen jeden von ihnen mit einem dritten Gegenstande vergleichen, den man von dem einen zu dem anderen transportiren kann. Ueberdies ist sogar dann, wenn die Gegenstände unmittelbar neben einander gestellt werden können,[149] ihre Aehnlichkeit oder Verschiedenheit so lange unvollkommen von uns erkannt, als sie nicht genau Theil für Theil mit einander verglichen haben. So lange das nicht geschehen ist, scheinen in der Wirklichkeit sehr verschiedene Dinge oft ununterscheidbar ähnlich zu sein. Zwei Linien von sehr verschiedener Länge scheinen fast gleich zu sein, wenn sie verschiedene Richtungen haben; man mache sie jedoch parallel und bringe ihre entfernteren Enden in gleiche Höhe, so wird, wenn man nach den näheren Enden sieht, ihre Ungleichheit zu einem Gegenstand der directen Wahrnehmung.

Zu bestimmen, ob und worin zwei Phänomene einander gleichen oder von einander abweichen, ist daher nicht immer eine so leichte Sache, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Wenn die beiden Phänomene nicht in eine Juxtaposition oder in eine solche Lage gebracht werden können, dass der Beobachter ihre verschiedenen Theile einzeln vergleichen kann, so muss er das indirecte Mittel des Folgerns und der allgemeinen Urtheile anwenden. Wenn wir zwei Linien nicht zusammenbringen können, um zu bestimmen, ob sie gleich sind, so thun wir dies durch die physikalische Hülfe eines Maassstabes, den wir erst an die eine und dann an die andere legen, und durch das logische Hülfsmittel des allgemeinen Urtheils oder der Formel: »Dinge, welche einem und demselben Dinge gleich sind, sind einander selbst gleich.« Die Vergleichung zweier Dinge vermittelst eines dritten Dinges, wenn eine directe Vergleichung unmöglich ist, ist das angemessene, wissenschaftliche Verfahren für die Bestimmung von Aehnlichkeiten oder Unähnlichkeiten, und die Summe von allem, was die Logik in dieser Beziehung zu lehren hat.

Eine ungeeignete Ausdehnung dieser Betrachtungen verleitete Locke, dass Schliessen selbst als nichts Anderes als die Vergleichung zweier Ideen vermittelst einer dritten, und die Erkenntniss als die Wahrnehmung der Uebereinstimmung oder Nichtübereinstimmung zweier Ideen zu betrachten, eine Lehre, welche die Schule von Condillac ohne die Einschränkungen und Distinctionen, womit sie ihr berühmter Urheber sorgfältig umgab, blindlings annahm. Wo in der That die Uebereinstimmung oder Nichtübereinstimmung (die Aehnlichkeit oder Unähnlichkeit) zweier Dinge der zu bestimmende Gegenstand, ist, wie dies besonders in den Wissenschaften der Quantität und der Ausdehnung der Fall ist, da besteht das[150] Verfahren, durch welches eine durch directe Wahrnehmung nicht zu erhaltentende Lösung, indirect gesucht werden muss, in der Vergleichung zweier Dinge vermittelst eines dritten. Dies ist aber weit entfernt, von allen Untersuchungen wahr zu sein. Die Erkenntniss, dass schwere Körper auf die Erde fallen, ist nicht eine Wahrnehmung der Uebereinstimmung oder Nichtübereinstimmung, sondern einer Reihe von physikalischen Vorgängen, ein Aufeinanderfolgen von Sensationen. Locke's Definitionen der Erkenntniss und des Schliessens mussten auf unsere Erkenntniss der Aehnlichkeiten und auf das Schliessen in Betreff derselben beschränkt werden. Ja sogar wenn sie in dieser Weise beschränkt werden, sind die Urtheile keine strengrichtigen, indem die Vergleichung nicht, wie er es darstellt, zwischen den Ideen zweier Phänomene, sondern zwischen den Phänomenen selbst gemacht wird. Dieser Irrthum hat, wie schon früher gezeigt wurde,145 seinen Grund in einer unvollkommenen Vorstellung von dem, was in der Mathematik stattfindet, wo sehr häufig ohne eine Berufung an die äusseren Sinne eine Vergleichung zwischen zwei Ideen wirklich gemacht wird; indessen nur darum, weil in der Mathematik eine Vergleichung zweier Ideen einer Vergleichung der Phänomene selbst streng äquivalent ist. Wo, wie in dem Falle von Zahlen, Linien und Figuren, unsere Idee von dem Gegenstände, soweit sie hier in Betracht kommt, ein vollständiges Bild des Gegenstandes ist, da können wir natürlicherweise von dem Bilde lernen, was man durch blosse Betrachtung des Gegenstandes selbst, so wie er in dem besondern Augenblicke, wo das Bild genommen wird, existirt, lernen konnte. Eine blosse Betrachtung des Schiesspulvers würde uns niemals lehren, dass es ein Funken zum Explodiren bringt, noch würde es folglich die Betrachtung der Idee vom Schiesspulver thun, aber die blosse Betrachtung einer geraden Linie zeigt, dass sie keinen Raum einschliessen kann, demnach wird die Betrachtung der Idee derselben dasselbe zeigen. Auf diese Weise ist das, was in der Mathematik stattfindet, kein Argument dafür, dass die Vergleichung nur zwischen den Ideen stattfindet. Es ist immer, entweder direct oder indirect, eine Vergleichung der Phänomene.[151]

In Fällen, wo die Phänomene gar nicht in das Bereich der directen Beobachtung gebracht werden können, oder doch nicht in einer hinreichend genauen Weise, wo wir ihre Aehnlichkeit nur aus anderen, der directen Beobachtung zugänglicheren Aehnlichkeiten oder Unähnlichkeiten folgern müssen: bedürfen wir natürlicherweise, wie bei allem Syllogismen, der auf den Gegenstand anwendbaren Generalisationen oder Formeln. Wir müssen aus Naturgesetzen, aus den Gleichförmigkeiten folgern, welche in der Thatsache von Gleichheit oder Ungleichheit beobachtbar sind.

§. 3. Die umfassendsten dieser Gesetze oder Gleichförmigkeiten sind diejenigen, welche die Mathematik darbietet, die Axiome, welche sich auf Gleichheit, Ungleichheit, Proportionalität und die verschiedenen hierauf begründeten Lehrsätze beziehen, und dies sind die einzigen Gesetze der Aehnlichkeit, welche besonders abgehandelt werden müssen oder können. Es ist wahr, es giebt unzählige andere Lehrsätze, welche Aehnlichkeiten zwischen Erscheinungen affirmiren, wie, dass der Reflexionswinkel dem Einfallswinkel des Lichtes gleich ist (indem die Gleichheit bloss die genaue Aehnlichkeit in der Grösse ist); dass die Himmelskörper in gleichen Zeiten gleiche Flächenräume beschreiben, und dass ihre Umlaufszeiten den anderthalbmaligen Potenzen ihrer Entfernungen vom Kräftemittelpunkte proportional (eine andere Art von Aehnlichkeit) sind. Diese und ähnliche Urtheile behaupten Aehnlichkeiten von derselben Natur wie diejenigen der mathematischen Lehrsätze; der Unterschied besteht darin, dass die mathematischen Urtheile von allen Phänomenen wahr sind; während die in Frage stehenden Wahrheiten nur von besonderen, auf eine gewisse Weise entstehenden Phänomenen behauptet werden, und die Gleichheiten, Proportionalitäten und andere Aehnlichkeiten, welche zwischen derartigen Phänomenen existiren, nothwendig entweder von dem Gesetze ihres Ursprungs – von dem Causalgesetze, wovon sie abhängen – abgeleitet oder damit identisch sein müssen. Die Gleichheit der von den Planeten beschriebenen Flächenräume wird von den Gesetzen der Ursachen abgeleitet und so lange die Ableitung nicht nachgewiesen war, war sie ein empirisches Gesetz. Die Gleichheit des Reflexionswinkels und des Einfallswinkels ist identisch[152] mit dem Gesetz der Ursache, denn die Ursache ist das Einfallen eines Strahles auf eine ebene Fläche, und die in Rede stehende Gleichheit ist gerade das Gesetz, wornach diese Ursache ihre Wirkung hervorbringt. Diese Classe von Gleichförmigkeiten der Aehnlichkeit zwischen Erscheinungen ist daher in Wirklichkeit und in Gedanken von den Gesetzen der Erzeugung dieser Phänomene unzertrennlich, und die darauf anwendbaren Principien der Induction sind diejenigen, welche wir in den vorhergehenden Capiteln abgehandelt haben.

Anders verhält es sich mit den Wahrheiten der Mathematik. Die Gesetze der Aehnlichkeit und Unähnlichkeit zwischen Räumen oder Zahlen haben keinen Zusammenhang mit Causalgesetzen. Dass ein Reflexionswinkel dem Einfallswinkel gleich ist, ist die Angabe der Wirkungsweise einer besondern Ursache, aber dass die Scheitelwinkel zweier sich schneidender Linien gleich sind, ist von allen solchen Linien und Winkeln wahr, von welchen Ursachen sie auch erzeugt sein mögen. Dass die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten den Cuben ihrer Entfernung von der Sonne proportional sind, ist eine Gleichförmigkeit, welche aus den Gesetzen der Ursachen, welche die Planetenbewegung hervorbringen, abgeleitet ist, nämlich aus der Centripetal- und Tangentialkraft; aber dass das Quadrat einer Zahl viermal das Quadrat ihrer Hälfte ist, ist eine Wahrheit, welche von einer jeden Ursache unabhängig ist. Die einzigen Gesetze der Aehnlichkeit, welche wir unabhängig von einer Verursachung zu betrachten haben, gehören daher in das Gebiet der Mathematik.

§. 4. Dasselbe ist evident in Beziehung auf die einzige übrige der fünf Kategorien, die Ordnung im Raum. Die Ordnung im Raum der Wirkungen einer Ursache ist (wie alles Andere, das zu den Wirkungen gehört) eine Folge des Gesetzes dieser Ursache. Die Ordnung im Raum, oder, wie wir es nannten, die Collocation der urersten Ursachen ist (so gut wie ihre Aehnlichkeit) in einem jeden Falle eine letzte Thatsache, worin keine Gesetze oder Gleichförmigkeiten nachgewiesen werden können. Die einzigen übrig bleibenden allgemeinen Urtheile in Beziehung auf Ordnung im Raum und die einzigen, welche nichts mit Ursachen zu thun haben, sind einige von den Wahrheiten der Geometrie,[153] Gesetze, vermittelst deren wir im Stande sind, aus der Ordnung im Raum gewisser Punkte, Linien oder Körper, die Ordnung im Raum von anderen, in einer gewissen Weise mit den ersteren zusammenhängenden zu folgern, und zwar unabhängig von der besonderen Natur dieser Punkte, Linien oder Körper in einer jeden andern Beziehung als der auf Lage oder Grösse, und unabhängig von der physikalischen Ursache, wovon sie in einem besondern Falle ihren Ursprung ableiten.

Es scheint auf diese Weise, dass die Mathematik das einzige Gebiet der Wissenschaft ist, dessen Methode noch zu untersuchen bleibt. Es ist aber um so weniger nöthig, uns noch lange mit dieser Untersuchung zu beschäftigen, als wir bereits früher darin weit vorgeschritten sind. Wir haben bemerkt, dass die Anzahl der direct inductiven Wahrheiten der Geometrie nur gering ist; dass sie aus Axiomen und gewissen Propositionen in Beziehung auf Existenz, die stillschweigend in den meisten der sogenannten Definitionen eingeschlossen sind, bestehen, und wir bewiesen, dass diese ursprünglichen Prämissen, von welchen die übrigen Wahrheiten der Wissenschaft abgeleitet sind, ungeachtet allen Scheines vom Gegentheil, Resultate der Beobachtung und der Erfahrung sind, kurz, dass sie auf einen Sinnesbeweis gegründet sind. Dass Dinge, die demselben Dinge gleich sind, auch einander selbst gleich sind, oder dass zwei gerade Linien, welche sich einmal geschnitten haben, fortwährend divergiren werden, dies sind inductive Wahrheiten, die, wie das allgemeine Causalgesetz, in der That nur auf einer Induction per enumerationem simplicem, auf der Thatsache beruhen, dass sie immerwährend wahr und kein einzigesmal falsch befunden wurden. So wie wir jedoch in einem früheren Capitel gesehen haben, dass dieser Beweis sich bei einem so vollständig universalen Gesetze, wie das Causalgesetz, zu dem höchsten und vollsten Beweis erhebt, so ist dies von den allgemeinen Urtheilen, die wir nun im Auge haben, noch augenfälliger wahr, weil, da die Perception ihrer Wahrheit in einem jeden individuellen Falle nur den einfachen Act des Betrachtens des Gegenstandes in einer geeigneten Lage verlangt, es niemals Fälle gegeben haben kann (was in Beziehung auf das Causalgesetz eine lange Zeit hindurch Statt fand), welche anscheinend, wenn auch nicht wirklich, Ausnahmen davonmachten. Ihre unfehlbare Wahrheit wurde bei dem[154] ersten Beginnen der Speculation erkannt, und da ihre äusserste Fasslichkeit dem Geiste unmöglich machte, die Gegenstände unter einem anderen Gesetze zu begreifen, so wurden sie und werden noch allgemein als Wahrheiten betrachtet, welche durch ihre eigene Evidenz, oder durch Instinct erkannt werden.

§. 5. Es scheint in der Thatsache, dass die ausserordentliche Menge von Wahrheiten (eine Menge, die noch eben so weit entfernt ist erschöpft zu sein, als sie es jemals war), welche in den mathematischen Wissenschaften enthalten sind, aus einer geringen Anzahl von elementaren Gesetzen entspringen, etwas zu liegen, was einer Erklärung bedarf. Man sieht auf den ersten Blick nicht ein, wie bei einem anscheinend so beschränkten Gegenstand eine solche unbegrenzte Anzahl von wahren Urtheilen Raum haben kann.

Um mit der Wissenschaft von den Zahlen zu beginnen, so sind die elementaren oder letzten Wahrheiten dieser Wissenschaft die gewöhnlichen Axiome in Beziehung auf die Gleichheit, nämlich »Dinge, welche einem und demselben Dinge gleich sind, sind einander selbst gleich« und »Gleiches zu Gleichem addirt, giebt gleiche Summen« (keine anderen Axiome sind nöthig146) sammt den Definitionen der verschiedenen Zahlen. Wie andere sogenannte Definitionen, so sind dieselben aus zwei Dingen zusammengesetzt, aus der Erklärung des Namens und aus der Behauptung einer[155] Thatsache, wovon die letzte allein ein erstes Princip oder eine Prämisse einer Wissenschaft bilden kann. Die in der Definition einer Zahl behauptete Thatsache ist eine physikalische Thatsache. Eine jede der Zahlen eins, zwei, drei, vier u.s.w. bezeichnet physikalische Phänomene und mitbezeichnet eine physikalische Eigenschaft dieses Phänomens. Zwei z.B. bezeichnet alle Paare von Dingen, und zwölf alle Dutzende von Dingen, indem es mitbezeichnet, was sie zu Paaren, Dutzenden macht; und das, was sie dazu macht, ist etwas Physikalisches, da es nicht zu leugnen ist, dass zwei Aepfel von drei Aepfeln, zwei Pferde von einem Pferd physikalisch verschieden sind, dass sie ein davon verschiedenes sichtbares und fühlbares Phänomen sind. Ich unternehme nicht zu sagen, welches der Unterschied sei, es ist hinreichend, dass ein Unterschied besteht, von welchem die Sinne Kenntniss nehmen können. Und obgleich hundert und zwei Pferde nicht so leicht von hundert und drei unterschieden werden, als zwei Pferde von einem Pferd; obgleich in den meisten Fällen die Sinne keinen Unterschied bemerken: so können sie doch in die Lage gebracht werden, dass ein Unterschied wahrnehmbar wird, weil wir sie sonst nie von einander unterschieden und ihnen verschiedene Namen gegeben hätten. Das Gewicht ist unleugbar eine physikalische Eigenschaft, und dennoch sind geringe Unterschiede zwischen bedeutenden Gewichten den Sinnen ebenso unwahrnehmbar, als geringe Unterschiede zwischen grossen Zahlen, und treten nur hervor, wenn zwei Gegenstände in eine besondere Lage, nämlich auf die zwei Schalen einer empfindlichen Waage gebracht werden.

Was wird also durch den Namen einer Zahl mitbezeichnet? Natürlich eine Eigenschaft, die der Agglomeration, der Anhäufung von Dingen angehört, welche wir mit dem Namen benennen; und diese Eigenschaft ist die charakteristische Weise, in welcher die Anhäufung zusammengesetzt ist oder in Theile getrennt werden kann. Wir wollen suchen, dies durch einige Erklärungen deutlicher zu machen.

Wenn wir eine Sammlung von Gegenständen zwei, drei oder vier nennen, so sind es keine zwei, drei oder vier im Abstracten, es sind zwei, drei oder vier Dinge von einer besondern Art, es sind Steine, Pferde, Zolle, Pfunde Gewicht. Der Name einer Zahl mitbezeichnet die Art und Weise, in welcher einzelne Gegenstände einer[156] besondern Art zusammengebracht werden müssen, um das besondere Aggregat hervorzubringen. Wenn das Aggregat ein Aggregat von Kieselsteinen ist und wir nennen es zwei, so schliesst der Name ein, dass, um das Aggregat zusammenzusetzen, ein Kiesel zu dem andern hinzugefügt werden muss. Wenn wir es drei nennen, so meinen wir, dass ein und ein und ein Kiesel zusammengebracht werden müssen, um es zu erzeugen, oder auch, dass ein Kiesel zu dem bereits existirenden Aggregat von der Art, welche wir zwei nennen, hinzuzufügen ist. Das Aggregat, welches wir vier nennen, hat eine noch grössere Anzahl von charakteristischen Erzeugungsweisen. Ein und ein und ein und ein Kiesel können zu einander gefügt werden, oder es können zwei Aggregate von der zwei genannten Art vereinigt, oder ein Kiesel kann zu der drei genannten Art hinzugefügt werden. Eine jede folgende Zahl in der aufsteigenden Reihe kann durch die Vereinigung kleinerer Zahlen in einer zunehmend grössern Anzahl von Bildungsweisen gebildet werden. Sogar wenn die Theile auf zwei beschränkt werden, so kann die Zahl in so vielen verschiedenen Weisen, als es kleinere Zahlen als sie selbst giebt, gebildet und folglich auch getheilt werden, und wenn wir drei, vier Theile etc. zulassen, in einer noch grössern Mannigfaltigkeit. Andere Weisen, zu demselben Aggregat zu gelangen, bieten sich dar, nicht in der Vereinigung von kleineren, sondern in der Zertheilung grösserer Aggregate. So können drei Kiesel gebildet werden, indem man von dem Aggregat von vier einen hinwegnimmt, zwei Kiesel durch eine gleiche Theilung eines ähnlichen Aggregats u.s.w.

Ein jeder arithmetischer Satz, eine jede Angabe des Resultats einer arithmetischen Operation ist die Angabe einer der Bildungsweisen einer gegebenen Zahl. Sie behauptet, dass ein gewisses Aggregat durch das Zusammenfügen gewisser anderer Aggregate, oder durch die Hinwegnahme gewisser Theile eines Aggregats hätte gebildet werden können, und dass wir folglich diese Aggregate durch eine Umkehrung des Verfahrens wiedererzeugen könnten.

Wenn wir sagen, der Cubus von 12 ist 1728, so behaupten wir, dass wenn wir im Besitz einer hinreichenden Anzahl von Kieseln oder von anderen Gegenständen sind und sie zu der besondern Art von Haufen oder Aggregaten zusammenfügen, die man zwölf nennt, und diese Zwölfe wieder in ähnliche Haufen zusammenbringen[157] und endlich zwölf von diesen grösseren Parthien vereinigen: das so gebildete Aggregat ein Aggregat sein wird, das wir 1728 nennen; das nämlich, welches entsteht (um die bekannteste Bildungsweise zu nehmen), wenn wir das tausend Kiesel genannte Aggregat, das siebenhundert Kiesel genannte, das zwanzig Kiesel genannte und das acht Kiesel genannte zusammenfügen. Der umgekehrte Satz, dass die Cubikwurzel von 1728 gleich 12 ist, behauptet, dass dieses grosse Aggregat wiederum in die zwölf Zwölfe von zwölf Kieseln, woraus es besteht, zerlegt werden kann.

Es giebt unzählige Erzeugungsweisen einer jeden Zahl, aber wenn wir eine Erzeugungsweise einer jeden kennen, so kann der ganze Rest deductiv bestimmt werden. Wenn wir wissen, dass a von b und c gebildet wird, dass b von d und e, c von d und f und so fort, bis wir alle Zahlen einer gewählten Reihe eingeschlossen haben (indem man Sorge trägt, dass für eine jede Zahl die Bildungsweise wirklich eine unterschiedene, uns nicht wieder zu den früheren Zahlen zurückbringende, sondern eine neue Zahl einführende sei), so haben wir eine Reihe von Sätzen, woraus wir alle anderen Bildungsweisen jener Zahlen aus einander folgern können. Wenn wir eine Kette von inductiven Wahrheiten, welche alle Zahlen der Reihe mit einander verknüpft, gebildet haben, so können wir die Bildung irgend einer dieser Zahlen aus einer andern einfach dadurch bestimmen, dass wir von der einen zu der andern die Kette entlang gehen. Nehmen wir an, es wären uns bloss die folgenden Bildungsweisen bekannt: 6 = 4+2, 4 = 7-3, 7 = 5+2, 5 = 9-4. Wir können nun bestimmen, wie 6 aus 9 gebildet werden kann, denn 6 = 4+2 = 7-3+2 = 5+2-3+2 = 9-4+2-3+2. Es kann also gebildet werden, wenn man 4 und 3 hinwegnimmt, und 2 und 2 hinzufügt. Wenn wir überdies wissen, dass 2+2 = 4 ist, so erhalten wir 6 aus 9 in einer einfacheren Weise, indem wir bloss 3 hinwegnehmen.

Es ist daher hinreichend, eine von den verschiedenen Bildungsweisen einer jeden Zahl als ein Mittel der Bestimmung aller übrigen zu wählen. Und da Dinge, welche gleichförmig und daher einfach sind, von dem Verstande sehr leicht aufgenommen und behalten werden, so liegt ein augenscheinlicher Vortheil darin, dass man eine Bildungsweise wählt, welche für alle gleich ist; dass man[158] die Mitbezeichnung der Namen von Zahlen nach einem gleichförmigen Princip fixirt. Die Einrichtung unserer bestehenden numerischen Nomenclatur bietet diesen Vortheil sammt dem anderweitigen dar, dass sie auf eine glückliche Weise dem Geiste zwei von den Bildungsweisen einer jeden Zahl zuführt. Eine jede Zahl wird angesehen als durch die Hinzufügung der Einheit zu der zunächst kleineren Zahl gebildet, und diese Bildungsweise wird durch den Platz, welchen sie in der Reihe einnimmt, ausgedrückt. Und eine jede Zahl wird auch betrachtet als gebildet durch Addition einer Anzahl von Einheiten weniger als zehn, und einer Anzahl von Aggregaten, wovon ein jedes einer der successiven Potenzen von zehn gleich ist; und diese Bildungsweise wird durch den ausgesprochenen Namen und durch ihren numerischen Charakter ausgedrückt.

Was die Arithmetik zum Typus einer deductiven Wissenschaft macht, ist die glückliche Anwendbarkeit auf dieselbe von einem so umfassenden Gesetze, wie »die Summen von Gleichem sind gleich,« oder (um dasselbe Princip in einer weniger familiären aber charakteristischeren Sprache auszudrücken) »was aus Theilen zusammengesetzt ist, ist aus Theilen von diesen Theilen zusammengesetzt«. Diese Wahrheit, welche in allen Fällen, wo die Entscheidung den Sinnen unterworfen werden kann, so einleuchtend ist, und die so allgemein ist, dass sie sich so weit erstreckt, als die Natur selbst, diese Wahrheit, da sie von allen Naturerscheinungen gültig ist (denn alle können gezählt werden), muss als eine inductive Wahrheit oder als ein Naturgesetz von der höchsten Ordnung betrachtet werden. Eine jede arithmetische Operation ist eine Anwendung dieses Gesetzes oder von anderen Gesetzen, die daraus abgeleitet werden können. Dies ist bei allen Rechnungen unsere Gewähr. Dass fünf und zwei gleich sieben ist, glauben wir auf den Beweis dieses inductiven, mit den Definitionen dieser Zahlen verbundenen Gesetzes hin. Wir gelangen zu diesem Schluss (wie Alle wissen, die sich erinnern, wie sie ihn zuerst lernten), indem nur die blosse Einheit auf einmal addirt wird, 5+1 = 6, daher 5+1+1 = 6+1 = 7, und da 1+1 = 2, so ist 5+1+1 = 5+2 = 7.

[159] §. 6. Unzählbar wie die wahren Urtheile sind, welche in Beziehung auf besondere Zahlen gebildet werden können, kann aus diesen allein keine adäquate Vorstellung von der Ausdehnung der Wahrheiten, welche die Wissenschaft der Zahlen bilden, gewonnen werden. Sätze wie die, von denen wir gesprochen haben, sind die am wenigsten allgemeinen von allen numerischen Wahrheiten. Es ist wahr, dass sogar diese von gleichem Umfang wie die Natur sind; die Eigenschaften der Zahl vier sind von allen Gegenständen wahr, welche sich in vier gleiche Theile theilen lassen, und alle Gegenstände sind wirklich oder ideell auf diese Weise theilbar. Aber die Urtheile, welche die Algebra bilden, sind nicht von einer besondern Zahl, sondern von allen Zahlen wahr; nicht von allen Dingen, unter der Bedingung, dass sie in einer besondern Weise getheilt werden, sondern von allen Dingen unter der Bedingung, dass sie in irgend einer Weise getheilt werden, dass sie überhaupt durch eine Zahl bezeichnet werden.

Da es unmöglich ist, dass verschiedene Zahlen irgend eine ihrer Bildungsweisen vollständig gemein haben, so sieht es wie ein Paradoxon aus zu sagen, alle Urtheile, welche in Beziehung auf Zahlen aufgestellt werden können, bezögen sich auf deren Bildungsweise aus anderen Zahlen, und es gäbe demnach Urtheile, welche von allen Zahlen wahr sind. Aber gerade dieses Paradoxon führt zu dem wirklichen Princip der Generalisation in Betreff der Eigenschaften der Zahlen. Zwei verschiedene Zahlen können nicht in derselben Weise aus denselben Zahlen gebildet werden; aber sie können in derselben Weise von verschiedenen Zahlen gebildet werden, wie z.B. neun aus drei gebildet wird, indem man letzteres mit sich selbst multiplicirt, und wie sechszehn gebildet wird, indem man ganz dasselbe mit vier vornimmt. Auf diese Weise entsteht eine Classification der Bildungsweisen, oder, in der von den Mathematikern gewöhnlich gebrauchten Sprache, eine Classification der Functionen. Eine jede Zahl, die betrachtet wird als von einer andern Zahl gebildet, wird eine Function derselben genannt, und es giebt so viele Arten von Functionen, als es Bildungsweisen giebt. Die einfachen Functionen sind keineswegs zahlreich, indem die meisten Functionen durch die Vereinigung verschiedener von den Operationen, welche einfache Function bilden, oder durch die successive Wiederholung einer dieser Operationen[160] gebildet worden, Die einfachen Functionen irgend einer Zahl x sind alle auf die folgenden Formen zurückführbar:

x+a, x-a, a·x, x/a, xa, a√x, log x (mit der Basis a)

und dieselben Ausdrücke variirt, indem a für x und x für a überall gesetzt wird, wo eine dieser Substitutionen den Werth verändern würde; hierzu müssen wir vielleicht noch hinzufügen sin x und arc (sin = x). Alle anderen Functionen von x werden gebildet, indem man eine oder mehrere der einfachen Functionen an die Stelle von x oder a setzt, und sie denselben elementaren Operationen unterwirft.

Um allgemeine Schlüsse in Beziehung auf Functionen ziehen zu können, bedürfen wir einer Nomenclatur, welche uns in den Stand setzt, irgend zwei Zahlen durch Namen auszudrücken, welche zeigen, welche Function eine jede von der andern ist, ohne genauer anzugeben, was für besondere Zahlen es sind; oder mit anderen Worten, welche die Bildungsweise der einen aus der andern darthun. Das System der allgemeinen, algebraische Bezeichnung genannten Sprache erfüllt diesen Zweck. Von den Ausdrücken a und a3 + 3a bezeichnet, der eine irgend eine Zahl, der andere eine in einer besondern Weise daraus gebildete Zahl. Die Ausdrücke a, b, n und (a + b)n bezeichnen drei beliebige Zahlen und eine vierte Zahl, welche in einer besondern Weise daraus gebildet ist.

Das Folgende kann als die allgemeine Aufgabe des algebraischen Calcüls aufgestellt werden: wenn F eine gewisse Function einer gegebenen Zahl ist, zu finden, welche Function von einer beliebigen Function dieser Zahl F sein wird. Z.B. ein Binomium a + b bist eine Function seiner zwei Theile a und b, und diese Theile sind ihrerseits Functionen von a + b, nun ist (a + b)n eine gewisse Function des Binoms; welche Function wird nun dieses von a und b, den zwei Theilen, sein? Die Antwort auf diese Frage ist der binomische Lehrsatz. Die Formel

(a+b)n=an+(n/1)an-1b+(n(n-1)/(1·2))an-2b2+...

zeigt, in welcher Weise die Zahl, welche durch nmalige Multiplication von a + b mit sich selbst gebildet wird, ohne diesen Process direct aus a, b und n gebildet werden könnte. Von dieser Natur[161] sind aber alle Lehrsätze der Wissenschaft der Zahlen. Sie behaupten die Identität der Resultate verschiedener Bildungsweisen. Sie behaupten, dass irgend eine Bildungsweise aus x und eine Bildungsweise aus einer gewissen Function von x dieselbe Zahl hervorbringen.

Was ausser diesen allgemeinen Lehrsätzen oder Formeln von dem algebraischen Calcül noch übrig bleibt, ist die Auflösung der Gleichungen. Aber die Auflösung einer Gleichung ist ebenfalls ein Lehrsatz. Wenn die Gleichung x2+ax = b ist, so ist die Auflösung dieser Gleichung, nämlich x = (-1/2)a ± √((1/4)a2+b), ein allgemeiner Satz, der als eine Antwort dienen kann auf die Frage, wenn b eine gewisse Function von x und a (nämlich x2 + a x) ist, welche Function ist x von a und b? Die Auflösung der Gleichungen ist daher bloss eine Varietät des allgemeinen Problems, wie es oben angegeben wurde. Das Problem ist – Eine Function ist gegeben, was für eine Function von einer andern Function ist sie? Und bei der Auflösung einer Gleichung ist die Aufgabe: zu finden, welche Function von einer ihrer eigenen Functionen die Zahl selbst ist.

Dies ist, wie oben beschrieben, der Zweck und das Ende des Calcüls. Was seine Processe betrifft, so weiss ein Jeder, dass sie einfach deductiv sind. Bei der Demonstration eines algebraischen Lehrsatzes, oder bei der Auflösung einer Gleichung gelangen wir von dem Gegebenen zum Gesuchten durch einen einfachen Syllogismus, in dem die einzigen Prämissen, die ausser der ursprünglichen Hypothese eingeführt wurden, die bereits erwähnten fundamentalen Axiome sind – dass Dinge, welche einem und demselben Dinge gleich sind, unter einander selbst gleich sind, und dass die Summen von gleichen Dingen gleich sind. Bei einem jeden Schritt in der Demonstration oder in der Berechnung wenden wir die eine oder die andere dieser Wahrheiten oder wir wenden Wahrheiten an, die daraus abgeleitet sind, wie z.B., die Unterschiede, Producte u.s.w. von gleichen Zahlen sind gleich.

Es ist für den Zweck dieses Werkes nicht nothwendig, die Analyse der Wahrheiten und der Processe der Algebra weiter zu treiben, um so weniger, als sich andere Schriftsteller dieser Aufgabe unterzogen haben. Peacock's Algebra und Whewell's[162] Doctrine of limits (Lehre von den Grenzen) sollten von einem jeden studirt werden, der den Beweis mathematischer Wahrheiten und den Sinn der dunkleren Processe des Calcüls verstehen lernen will; und auch nachdem er diese Werke bemeistert hat, wird der Studirende aus dem bewunderungswürdigen Werke von Hrn. Comte, dem die Philosophie der höheren Theile der Mathematik mehr verdankt als einem jeden andern mir bekannten Schriftsteller, viel lernen können.

§. 7. Wenn die äusserste Allgemeinheit der Gesetze der Zahlen, wenn ihr Ferneliegen nicht sowohl von den Sinnen als von der visuellen und tactuellen Einbildungskraft es für die Abstraction zu einer schwierigen Aufgabe macht, sich diese Gesetze als wirkliche physikalische Wahrheiten vorzustellen, die durch die Beobachtung gewonnen wurden, so besteht diese Schwierigkeit nicht in Beziehung auf die Gesetze der Ausdehnung. Die Thatsachen, welche diese Gesetze ausdrücken, sind von einer den Sinnen besonders zugänglichen Art, und bieten der Phantasie ganz deutliche Bilder. Wäre nicht die durch zwei Umstände hervorgebrachte Täuschung gewesen, so wäre die Geometrie ohne Zweifel zu allen Zeiten als eine streng physikalische Wissenschaft erkannt worden. Der eine von diesen Umständen ist in der bereits erwähnten charakteristischen Eigenschaft der geometrischen Thatsachen zu suchen, dass sie eben so gut aus unseren Ideen oder geistigen Bildern von den Gegenständen gefolgert werden können, als aus den Gegenständen selbst. Der andere ist der demonstrative Charakter der geometrischen Wahrheiten, wovon man früher annahm, dass er den Hauptunterschied zwischen geometrischen und physikalischen Wahrheiten ausmache, indem man die letzteren, als auf einem blossen Wahrscheinlichkeitsbeweis beruhend, für wesentlich ungewiss und ungenau hielt. Der Fortschritt der Wissenschaft hat indessen bewiesen, dass die physikalischen Wissenschaften in ihren besser verstandenen Theilen eben so demonstrativ sind wie die Geometrie. Die Aufgabe, ihre Einzelnheiten aus wenigen, verhältnissmässig einfachen Principien abzuleiten, stellt sich durchaus nicht, wie man früher annahm, als eine Unmöglichkeit heraus, und die Idee einer grösseren Gewissheit der Geometrie ist eine Täuschung, die aus dem alten Vorurtheil entstand, welches die ideellen Data dieser Wissenschaft, woraus wir folgern, für eine besondere Classe von[163] Thatsachen hält, während die entsprechenden ideellen Data einer der physikalisches Wissenschaften für das gehalten werden, was sie sind, nämlich für blosse Hypothesen.

Ein jeder geometrische Lehrsatz ist ein Gesetz der äusseren Natur, und hätte durch Generalisiren von der Beobachtung und dem Experiment aus, die sich in diesem Falle in Vergleichung und Messung auflösen, bestimmt werden können. Man fand es aber ausführbar, und weil ausführbar, für wünschenswerth, diese Wahrheiten durch Folgerung aus einer kleinen Anzahl von allgemeinen Naturgesetzen, deren Gewissheit und Allgemeinheit dem sorglosesten Beobachter augenfällig waren, und welche die ersten Principien und letzten Prämissen der Wissenschaft bilden, abzuleiten. Unter diese allgemeinen Gesetze müssen dieselben zwei Gesetze eingeschlossen werden, die wir als letzte Prämissen der Wissenschaft der Zahlen angeführt haben, und welche auf eine jede Art von Grösse anwendbar sind, nämlich: die Summen von Gleichem sind gleich, und Dinge, welche einem und demselben Dinge gleich sind, sind einander selbst gleich; das letztere dieser Gesetze kann in einer Weise, welche die unerschöpfliche Menge seiner Consequenzen besser ersehen lässt, in folgenden Worten ausgedrückt werden: Was irgend einer von einer Anzahl gleicher Grössen gleich ist, ist einer jeden andern von diesen Grössen gleich. Diesen beiden Gesetzen muss in der Geometrie ein drittes Gesetz der Gleichheit hinzugefügt worden, nämlich: Linien, Flächen oder Räume, welche so auf einander gelegt werden können, dass sie sich decken, sind einander gleich. Einige Schriftsteller haben behauptet, dieses Naturgesetz sei eine blosse verbale Definition, der Ausdruck »gleiche Grössen« bedeute nichts Anderes als Grössen, welche so aufeinander gelegt werden können, dass sie sich decken. Dieser Meinung kann ich aber nicht beistimmen. Die Gleichheit zweier geometrischer Grössen kann ihrer Natur nach nicht fundamental verschieden sein von der Gleichheit zweier Gewichte, zweier Wärmegrade, oder zweier Theile einer Zeitdauer, und auf keine dieser Gleichheiten würde diese vermeintliche Definition der Gleichheit passen. Keines von diesen Dingen kann auf das andere so gelegt werden, dass es dasselbe deckt, wir wissen aber genau, was wir meinen, wenn wir sie gleich nennen. – Die Dinge sind der Grösse nach gleich, wie sie dem Gewicht nach gleich sind, wenn wir[164] sie in Beziehung auf die Attribute, in welchen wir sie mit einander vergleichen, genau ähnlich wahrnehmen; das Aufeinanderlegen der Gegenstände in dem einen Fall, und das Wägen auf zwei Waagschalen in dem andern ist nur ein Modus, sie in eine Lage zu bringen, in welcher unsere Sinne den Mangel einer genauen Aehnlichkeit, der unserer Entdeckung sonst entgehen würde, erkennen können.

Ausser diesen allgemeinen Principien oder Axiomen bestehen die übrigen Prämissen der Geometrie aus sogenannten Definitionen, d.h. aus Urtheilen, welche die wirkliche Existenz der verschiedenen, in ihnen bezeichneten Gegenstände, sammt irgend einer Eigenschaft eines jeden behaupten. In einigen Fällen nimmt man gewöhnlich mehr als eine Eigenschaft an, aber in keinem Falle ist mehr als eine nothwendig. Man nimmt an, es gebe in der Natur Dinge, wie gerade Linien, und zwei solcher von demselben Punkte ausgehender Linien divergirten mehr und mehr d.i. ohne Grenze. Diese Annahme (welche Euclids Axiom, dass zwei gerade Linien keinen Raum einschliessen können, enthält und noch über dasselbe hinaus geht) ist in der Geometrie ebenso unentbehrlich, und, da sie auf einer ebenso einfachen, geläufigen und allgemeinen Erfahrung beruht, ebenso evident als die anderen Axiome. Man nimmt auch an, dass gerade Linien in verschiedenen Graden von einander divergiren; mit anderen Worten, dass es Dinge gebe wie Winkel, und dass sie fähig seien, gleich oder ungleich zu sein. Man nimmt an, es gebe ein Ding wie einen Kreis, und alle seine Halbmesser seien einander gleich; es gebe Dinge wie Ellipsen, und die Summe der Focaldistanzen für einen jeden Punkt der Ellipse sei dieselbe; es gebe Dinge wie parallele Linien, und diese Linien seien überall gleichweit von einander entfernt.147

[165] §. 8. Es ist etwas mehr als ein blosser Gegenstand der Neugierde, zu betrachten, welcher Eigenthümlichkeit der physikalischen Wahrheiten, die den Gegenstand der Geometrie bilden, es zuzuschreiben ist, dass sie alle von einer so kleinen Anzahl von ursprünglichen Prämissen abgeleitet werden können; warum wir von nur einer einzigen charakteristischen Eigenschaft einer jeden Art von Phänomen ausgehen, und mit dieser und zwei oder drei allgemeinen, sich auf Gleichheit beziehenden Wahrheiten von Merkmal zu Merkmal gehen können, bis wir ein weites Gebäude von abgeleiteten Wahrheiten errichtet haben, die dem Anschein nach von jenen elementaren Wahrheiten sehr verschieden sind.

Die Erklärung dieser bemerkenswerthen Thatsache scheint in den folgenden Umständen zu liegen. Zuvörderst können alle Fragen über Lage und Gestalt in Fragen über die Grösse verwandelt werden. Die Lage und die Figur eines Gegenstandes wird bestimmt, indem man die Lage einer hinreichenden Anzahl von Punkten in ihm bestimmt, und die Lage eines Punktes kann durch die Grösse dreier rechtwinkliger Coordinaten oder Senkrechten, welche man von dem Punkte auf drei zu einander rechtwinklige und willkürlich gewählte Achsen fällt, bestimmt werden. Durch diese Verwandlung aller Fragen der Qualität in blosse Fragen der Quantität, wird die Geometrie auf die einfache Aufgabe von der Messung von Grössen, d.h. auf die Bestimmung der zwischen ihnen bestehenden Gleichheiten zurückgeführt. Wenn wir nun bedenken, dass durch eines dieser allgemeinen Axiome eine jede Gleichheit, wenn sie festgestellt ist, ein Beweis von so vielen anderen Gleichheiten ist, als es andere Dinge giebt, welche einem von den zwei gleichen Dingen ähnlich sind; dass durch ein[166] anderes dieser Axiome eine jede nachgewiesene Gleichheit ein Beweis von der Gleichheit von so vielen Paaren von Grössen ist, als durch die zahlreichen Operationen, welche sich in die Addition von dem Gleichen zu sich selbst oder zu anderem Gleichen auflösen, gebildet werden können: so verwundern wir uns nicht mehr, dass im Verhältniss, als eine Wissenschaft von der Gleichheit handelt, sich ihr eine reichlichere Menge von Merkmalen von Merkmalen darbietet, und dass die Wissenschaften der Zahlen und der Ausdehnung, welche kaum mit etwas Anderem als der Gleichheit zu schaffen haben, die am meisten deductiven aller Wissenschaften sind.

Es sind auch zwei oder drei von den hauptsächlichen Gesetzen des Raumes oder der Ausdehnung, welche in einer ungewöhnlichen Weise dazu geeignet sind, eine Lage oder eine Grösse zu einem Merkmal einer andern zu machen, und welche dadurch beitragen, diese Wissenschaft zu einer besonders deductiven zu machen. Erstens sind die Grössen der eingeschlossenen Räume, es mögen Flächen oder Körper sein, vollständig durch die Grösse der Linien und Winkel, welche sie begrenzen, bestimmt. Zweitens wird die Länge einer geraden oder krummen Linie gemessen (wenn gewisse andere Dinge gegeben sind) durch den Winkel, dem sie gegenüber liegt, und umgekehrt. Und zuletzt wird der Winkel, welchen zwei gerade Linien an einem unzugänglichen Punkte mit einander bilden, durch die Winkel gemessen, welche diese Linien, eine jede mit einer willkürlich gewählten dritten Linie bilden. Vermittelst dieser allgemeinen Gesetze könnte die Messung aller Linien, Winkel und Räume durch die Messung einer einzigen geraden Linie und einer hinreichenden Anzahl von Winkeln vollführt werden, was in der That bei der trigonometrischen Aufnahme eines Landes geschieht; und man muss es für ein Glück ansehen, dass dieses ausführbar ist, indem die Messung gerader Linien schwierig, die der Winkel hingegen sehr leicht ist. Drei solche Generalisationen, wie die vorhergehenden, bieten für die indirecte Messung der Grössen solche Vortheile dar (indem sie uns bekannte Linien oder Winkel liefern, welche Merkmale der Grösse von unbekannten Linien und Winkeln und daher der Räume sind, welche sie einschliessen), dass es leicht zu begreifen ist, wie wir, von nur wenigen Data ausgehend, die Grösse einer unbestimmten Menge von Linien, Winkeln und Räumen, die[167] nicht mit Leichtigkeit oder auch gar nicht durch ein directes Verfahren zu messen wären, bestimmen können.

§. 9. Dies sind die wenigen Bemerkungen, die es nothwendig schien in Beziehung auf Naturgesetze, die der besondere Gegenstand der Wissenschaften der Zahlen und der Ausdehnung sind, hier zu machen. Der grosse Antheil, welchen diese Wissenschaften daran haben, dass die anderen Zweige der physikalischen Wissenschaften einen deductiven Charakter annehmen, ist wohl bekannt; Und es liegt hierin nichts Ueberraschendes, wenn wir bedenken, dass alle Ursachen nach mathematischen Gesetzen wirken. Die Wirkung ist immer von der Quantität des Agens abhängig, oder in mathematischer Sprache, ist eine Function der Quantität des Agens, und im allgemeinen auch der Lage desselben. Wir können daher in Beziehung auf eine Verursachung keine Schlüsse ziehen, ohne bei jedem Schritt Betrachtungen der Quantität und Ausdehnung einzuführen; und wenn die Natur der Phänomene es zulässt, dass wir numerische Data von einer hinreichenden Genauigkeit erhalten, so werden die Gesetze der Quantität zu dem grossen Instrument, um eine Wirkung im voraus oder eine Ursache rückwärts zu berechnen. Dass in allen anderen Wissenschaften sowohl, wie in der Geometrie, Fragen der Qualität von den Fragen der Quantität kaum jemals unabhängig sind, kann man aus den bekanntesten Erscheinungen ersehen. Wenn auf der Palette eines Malers verschiedene Farben gemischt sind, so wird die Farbe der Mischung durch die verhältnissmässige Quantität einer jeden bestimmt.

Ich muss mich für jetzt mit der blossen Angabe der allgemeinen Ursachen, welche mathematische Principien und Processe in den deductiven Wissenschaften, welche genaue numerische Data darbieten, so vorherrschend machen, begnügen, und verweise den Leser, welcher sich mit diesem Gegenstände bekannter machen will, auf die zwei ersten Bände des systematischen Werkes des Herrn Comte.

In demselben Werke, und insbesondere im dritten Bande, sind die nothwendigen Grenzen der Anwendbarkeit mathematischer Principien, behufs der Ausbildung anderer Wissenschaften, einer Discussion unterworfen. Diese Principien sind offenbar da nicht anwendbar, wo die Ursachen, von welchen eine Classe von Erscheinungen[168] abhängt, unserer Beobachtung so unvollkommen zugänglich sind, dass wir ihre numerischen Gesetze nicht durch eine geeignete Induction bestimmen können, oder wo die Ursachen so zahlreich und auf eine so complexe Weise mit einander vermischt sind, dass, sogar ihre Gesetze als bekannt vorausgesetzt, die Berechnung der Gesammtwirkung die Kräfte des Calcüls, wie er gegenwärtig ist oder wahrscheinlich sein wird, übersteigt; oder endlich, wo die Ursachen selbst in einem Zustand einer fortwährenden Fluctuation sind, wie in der Physiologie oder wo möglich noch mehr in den socialen Wissenschaften. Die mathematischen Lösungen physikalischer Fragen werden in dem Verhältnisse schwieriger und unvollkommener, als die Fragen sich ihres abstracten und hypothetischen Charakters entkleiden und sich dem Grade von Complication, wie er in der Natur existirt, mehr nähern; dergestalt, dass ausserhalb der Grenzen astronomischer Phänomene und derjenigen Phänomene, welche ihnen sehr nahe analog sind, mathematische Genauigkeit im allgemeinen nur »auf Kosten der Realität der Forschung« erhalten wird; während sogar bei astronomischen Fragen »ungeachtet der bewunderungswürdigen Einfachheit ihrer mathematischen Elemente unsere schwache Intelligenz unfähig wird, die logischen Combinationon der Gesetze, wovon die Naturerscheinungen abhängig sind, zu verfolgen, sobald wir versuchen, mehr als zwei oder drei wesentliche Einflüsse gleichzeitig in Betracht zu ziehen«. Als ein bemerkenswerthes Beispiel hiervon haben wir bereits mehr als einmal das Problem der drei Körper angeführt; die vollständige Lösung einer verhältnissmässig so einfachen Frage ist von den scharfsinnigsten Mathematikern vergeblich versucht worden. Man wird darnach begreifen, wie chimärisch die Hoffnung sein würde, dass mathematische Principien jemals mit Vortheil auf Naturerscheinungen anwendbar sein werden, welche, wie die der Chemie und noch mehr der Physiologie, von der gegenseitigen Action unzähliger kleiner Körpertheilchen abhängig sind; aus ganz ähnlichen Gründen bleiben aber diese Principien für immer auf die noch complexeren Untersuchungen unanwendbar, deren Gegenstand die Erscheinungen der Gesellschaft und der Regierungsformen sind.

Der Werth des mathematischen Unterrichts, als eine Vorbereitung zu diesen schwierigeren Untersuchungen, besteht in der Anwendbarkeit, nicht ihrer Lehren, sondern ihrer Methode. Die[169] Mathematik wird immer der vollkommenste Typus der deductiven Methode im allgemeinen sein, und die Anwendungen der Mathematik auf die einfacheren Zweige der Physik sind die einzige Schule, in welcher die Philosophen den schwierigsten und wichtigsten Theil ihrer Kunst, den Gebrauch der Gesetze von einfacheren Naturerscheinungen zur Erklärung und Voraussagung von complexeren, wirklich erlernen können. Diese Gründe sind hinreichend, um die mathematische Bildung für die unentbehrliche Basis einer wirklich wissenschaftlichen Erziehung zu halten, und (nach einem dictum, welches eine alte aber irrige Tradition Platon zuschreibt) den ageômetrêtos als der wesentlichsten Befähigung für die Cultivirung der höheren Zweige der Philosophie entbehrend anzusehen.[170]

Quelle:
John Stuart Mill: System der deduktiven und inductiven Logik. Band 2, Braunschweig 31868, S. 147-171.
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