Abstand

Dieser Artikel behandelt mathematische Definitionen des Abstands. Zur Aufwandsentschädigung siehe Ablösesumme.

Physikalische Größe
Name		Abstand
Größenart		Länge
Formelzeichen der Größe		r
Formelzeichen der Dimension		L
Größen- und Einheitensystem	Einheit		Dimension
SI	Meter (m)		L

Als Abstand im mathematisch und physikalischen Sinne bezeichnet man die kürzeste Entfernung oder Distanz zwischen zwei Gegenständen oder Punkten (auch Zeitpunkten), den es zu überwinden, überbrücken oder freizuhalten gilt. Der Bereich der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt ist die Metrik.

Der Abstand zwischen zwei Werten wird bestimmt, indem man den Absolutwert ihrer Differenz bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten Ursprung des Koordinatensystems nicht aber von dessen Skalierung (vergleiche Maßstab).

In der beobachtenden Astronomie wird der Abstand zweier Himmelsobjekte als Winkelabstand − der Differenz der Winkel, unter denen sie erscheinen − angegeben.

Der Abstand zweier Mengen kann über die Hausdorff-Metrik definiert werden.

Euklidischer Abstand

Im kartesischen Koordinatensystem ist der Abstand (euklidischer Abstand) zwischen zwei Punkten gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der Abstands-Koordinaten:

$d_{AB} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2} \quad \mbox{wobei} \quad A = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n \quad \mbox{und} \quad B = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$

$d_{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} \quad \mbox{im} \ \mathbb{R}^3$

Der Abstand eines Punkts zu einer Geraden oder einer ebenen Fläche ist der Abstand zum Fußpunkt des darauf gefällten Lots, der zu einer gekrümmten Linie ist stets ein Abstand zu einer ihrer Tangenten.

Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen

Auf der Kugeloberfläche wird der Abstand entlang von Großkreisen bestimmt und im Gradmaß oder Bogenmaß angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe Orthodrome.

Auf dem Erdellipsoid oder anderen konvexen Flächen benützt man die geodätische Linie oder den Normalschnitt.

In der Geodäsie und den Geowissenschaften spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.