Abtastung

Abtastung (englisch sampling) ist die Registrierung von Messwerten zu diskreten, meist äquidistanten Zeitpunkten. Aus einem zeitkontinuierlichen Signal wird so ein zeitdiskretes Signal gewonnen.

Die Anzahl der Abtastungen pro Sekunde wird Abtastrate genannt. Bei der digitalen Telefonie (ISDN) beträgt die Abtastrate beispielsweise 8 kHz.

Die Digitalisierung eines analogen Signals erfolgt in zwei Schritten. Nach der Abtastung erfolgt die Quantisierung des zeitdiskreten aber noch wertkontinuierlichen Signals. Dadurch entsteht ein zeit- und wertdiskretes Signal.

Modell der Abtastung

Das Grundprinzip der Abtastung ist, dass eine physikalische Größe (z.B. ein Signal in Form einer elektrischen Spannung) über einen gewissen Zeitraum akkumuliert wird und dann der akkumulierte Wert in eine digitale Darstellung des Messwertes umgewandelt wird. Dies geschieht dann periodisch mit der Abtastfrequenz

Ideale Abtastung

Für eine einfachere mathematische Beschreibung ist die ideale Abtastung definiert. Hier wird das Signal nicht über einen gewissen Zeitraum um den Abtastzeitpunkt akkumuliert, sondern exakt zum Abtastzeitpunkt nT ausgewertet.

Mathematisch lässt sich dies darstellen, indem man das Signal s(t) mit dem Dirac-Kamm (einer Folge von Dirac-Stößen) multipliziert:

Das abgetastete Signal lautet dann

$s_a (t) = s(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n T)$ .

Für das Spektrum (also die Fouriertransformierte) des Signals erhält man

$S_a (f) = S (f) * [\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(f - \frac{n}{T})]$ .

Das Spektrum ist also das Spektrum der nicht abgetasteten Funktion, welches aber periodisch mit der Periode 1/T wiederholt wird (Faltungseigenschaft des Dirac-Impulses). Daher ist es wichtig, dass das Spektrum der Originalfunktion maximal $2 \cdot 1/T$ breit ist, damit sich die verschobenen Spektren nicht überlappen. Ist dies der Fall, so ist das Signal nach idealer Tiefpass-Filterung aus dem Spektrum rekonstruierbar (vgl. Nyquist-Shannon-Abtasttheorem). Andernfalls tritt Aliasing auf.

Reale Abtastung

In der Realität sind zwei Bedingungen der idealen Abtastung nicht einhaltbar:

Es ist nicht möglich, ideale Dirac-Stöße zu erzeugen. Das Signal wird vielmehr über einen Zeitraum um den eigentlichen Abtastzeitpunkt akkumuliert, z.B. über eine Torschaltung. Dies nennt man auch natürliche Abtastung. Alternativ wird eine Abtast-Halte-Schaltung eingesetzt.
Die perfekte Rückgewinnung des Signals aus seinem Spektrum erfordert einen idealen Tiefpass, welcher ebenfalls nicht realisierbar ist.

Diesen Problemen kann man wie folgt begegnen:

zu 1.: Beim Einsatz einer Sample- and Hold-Schaltung wird der Dirac-Kamm durch eine Rechteckimpulsfolge (mit Rechteckenimpulsen der Breite $t 0$ , dann dargestellt mit der Faltungseigenschaft des Dirac-Stoßes) ersetzt. Man erhält:

$f_a (t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n T)\cdot rect(\frac{t-n T}{t_0}) = rect(\frac{t}{t_0}) * \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - n T)$

Und als Spektrum folgt

$F_a (f) = t_0 \frac{sin(\pi f t_0)}{\pi f t_0} \cdot [F (f) * 1/T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(f - nf)]$ .

Dies ist das Spektrum der idealen Abtastung, allerdings gewichtet mit der si-Funktion (die Fouriertransformierte der Rechteckfunktion). Dies bedeutet eine Verzerrung des Signals, welche nur durch ein Entzerrfilter behoben werden kann. Eine solche Verzerrung tritt bei der natürlichen Abtastung nicht auf.

zu 2.: Um auch mit einem nicht idealen Tiefpass das Signal aus dem Spektrum zurückzugewinnen kann man einfach die Abtastfrequenz erhöhen (Überabtastung). Dies bedeutet nämlich, dass die Einzelspektren weiter auseinander rücken und so das Tiefpassfilter weniger steil sein muss.

Andere Schreibweise

Daten zu Signal

Im einfachsten Fall wird die Umwandlung einer Folge reeller Zahlen, also eines zeitdiskreten Signals, mittels einer einzigen Kernfunktion vorgenommen. D.h. zu einer Folge $(c_n)_{n\in\Z}$ wird mittels einer Funktion h und einem Zeitschritt T die, im weitesten Sinne interpolierende, Funktion

$a(t):=T\cdot \sum_{n\in\Z} c_n\cdot h(t-nT)$

gebildet. Deren Fourier--Transformierte ist

$A(f):=\mathcal F_{Hz}(a)(f) =T\sum_{n\in\Z} c_n\int_\R h(t-nT)e^{-i(2\pi f)t}\;dt =T\sum_{n\in\Z} c_n e^{-i(2\pi f)nT} H(f)$ ,

wobei H(f) die Fourier-Transformierte von h(t) ist.

Signal zu Daten

Ein realistischeres Modell der Messung eines zeitveränderlichen Prozesses ist die Bildung eines gewichteten Mittelwertes über einen bestimmten Zeitraum. Dies kann mathematisch durch die Faltung mit einer Gewichtsfunktion w realisiert werden. Sei x(t) das zu messende Signal und v(t) der gemessene Wert zum Zeitpunkt t (der z.B. dem Schwerpunkt der Gewichtsfunktion zugeordnet wird), so gilt

$v(t)=(w*x)(t)=\int_\R w(s)\cdot x(t-s)\;ds$ .

Unter der Fourier-Transformation geht die Faltung in die Multiplikation über. Seien W, V und X die Fourier-Transformierten von w, v und x, dann gilt V(f)=W(f)X(f).

Signal-Daten-Signal

Bestimmt man nun eine Folge von Messwerten mit Zeitschritt T, $c n = v (n T)$ , um diese in die Interpolationsvorschrift einzusetzen, so erhalten wir eine Rekonstruktionsvorschrift

$a(t)=\sum_{n\in\Z} v(nT)\;h(t-nT)=\sum_{n\in\Z} (x*w)(nT)\;h(t-nT)$ .

Um die Güte dieser Vorschrift einzuschätzen kann man die Rekonstruktion auf einfache frequenzbeschränkte Signale testen. Dies kann durch die Bestimmung der Fourier-Transformierten abgekürzt werden. Dazu ist jedoch die Fourier-Reihe

$T\sum_{n\in\Z} v(nT) e^{-i(2\pi f)nT}$

genauer zu bestimmen. Nach der Poissonschen Summenformel ist diese periodische Funktion identisch zur Periodisierung von V(f). Sei $f s = 1 / T$ die Abtastfrequenz, dann gilt

$T\sum_{n\in\Z} v(nT) e^{-i(2\pi f)nT} =\sum_{k\in\Z}V(f+k\cdot f_s) =\sum_{k\in\Z}X(f+k\cdot f_s)\cdot W(f+k\cdot f_s).$

Zusammenfassend gilt also

$A(f)=\left(\sum_{k\in\Z}X(f+k\cdot f_s)\cdot W(f+k\cdot f_s)\right)\,\cdot\,H(f)$ .

Eine Frequenzkomponente um die Frequenz f erleidet somit eine Verzerrung mit dem Faktor $W(f)\cdot H(f)$ und ein Aliasing der Stärke $W (f) H (f + k f s)$ um die Frequenz $f + k f s$ bei $k\ne 0$ .

Um Basisbandsignale möglichst gut zu approximieren, ist es erforderlich, dass $W(f)\cdot H(f)\approx 1$ in einer Umgebung von f=0 und $H(f+kf_s)\approx 0$ für dieselben f und für alle $k\ne 0$ gelten. Im Rahmen einer mathematisch exakten Theorie sind diese Forderungen erfüllt und alle Operationen wohldefiniert, wenn

$\sum_{k\in\Z}|W(f+kf_s)|^2<B$ und $\sum_{k\in\Z}|H(f+kf_s)|^2<B$ mit einem B>0 für alle f gilt und
$E(f):=\sum_{k\in\Z}|W(f)H(f+kf_s)-\delta_{0,k}|^2$ (mit dem Kronecker-Delta) in f=0 stetig ist und dort eine Nullstelle hat.

Man erhält dann in der Betragsquadratnorm des Funktionenraums L² für eine Basisbandfunktion x(t) mit höchster Frequenz $f H$ nach der Parseval-Identität eine Abschätzung des relativen Fehlers, d.h. des Signal-Rausch-Verhältnisses, als

$\|a-x\|_2^2=\|A-X\|_2^2\le \sup_{f\in[-f_H,f_H]}E(f)\;\|x\|_2^2$

Beispiele: Sind w und h Rechteckfunktionen mit Breite T zentriert um 0, so ist

$W(f)=H(f)=\operatorname{sinc}(T\,f)=\frac{\sin(\pi T\, f)}{\pi T\, f}$

und es gilt $E(f)=1-\operatorname{sinc}(T\,f)^2$ .

Sind umgekehrt w und h die Kardinalsinusfunktionen $\operatorname{sinc}(T\,f)$ , so sind deren Fourier-Transformierte die entsprechenden Rechteckfunktionen $\operatorname{rect}(T/2\,f)$ und die sich ergebende Rekonstruktionsformel ist die Kardinalreihe des Whittaker-Kotelnikow-Nyquist-Shannon-Abtasttheorems.

In jedem Fall führen Funktionen mit Frequenzkomponenten oberhalb $\frac12 f_s$ zu Aliasfehlern im Frequenzbereich $\left[-\frac12 f_s,\,\frac12 f_s\right]$ , die Frequenzschranke des Abtasttheorems ist also notwendig, aber keinesfalls hinreichend für eine fehlerarme Rekonstruktion.

Daten-Signal-Daten

In dieser Richtung wird die "interpolierende" Funktion a(t) abgetastet. Es ergibt sich also

$d_n:=v(nT)=(w*a)(nt)=T\sum_{k\in\Z}c_k \int_\R w(s) h(nT-kT-s)\,ds=T\sum_{k\in\Z}c_k \;(w*h)(nT-kT)$ .

Für die Fourier-Reihen erhält man daraus

$\sum_{n\in\Z}d_ne^{-i (2\pi n) Tf} =T\sum_{k\in\Z}c_k e^{-i (2\pi k) Tf}\cdot\sum_{n\in\Z}(w*h)(nT)e^{-i (2\pi n) Tf}$

Nach der Poissonschen Summenformel gilt in diesem Fall

$T\sum_{k\in\Z} (w*h)(nT) e^{-i (2\pi n) Tf}=\sum_{n\in\Z} W(f-nf_s)\cdot H(f-nf_s)$ .

Soll die Fourier-Reihe der Folge c und damit die Folge erhalten bleiben, so muss diese Summe überall den Wert 1 haben. Das Maximum der Abweichung davon gibt auch in diesem Fall eine Schranke für den relativen Fehler bei der Datenübertragung.