Affine Hülle

Affine Hülle ist ein universeller Begriff aus der mathematischen Theorie der Vektorräume. Nahe verwandt ist der Begriff der linearen Hülle.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition und Eigenschaften
- 1.1 Definition
- 1.2 Eigenschaften
2 Beispiele
3 Siehe auch

Definition und Eigenschaften

Definition

Die affine Hülle einer Teilmenge $M$ eines affinen Raumes ist der kleinste affine Teilraum, der die Menge $M$ ganz enthält.

Eigenschaften

Die affine Hülle einer beliebigen Teilmenge eines Vektorraumes (bzw. affinen Raumes)

ist eindeutig bestimmt (als konkrete Menge, nicht nur bis auf Isomorphie),
ist ein affiner Raum mit einer Dimension zwischen -1 (leere Menge) und der Dimension des Gesamtraums.

In der Menge $T$ der affinen Teilräume eines affinen Raumes (einschließlich der leeren Menge und des Gesamtraums) kann man die Operation "bilde die affine Hülle der Vereinigungsmenge" als zweistellige Verknüpfung einführen. Die dazu duale Verknüpfung ist dann die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet $T$ dann einen Verband.

Beispiele

Die affine Hülle von zwei beliebigen Punkten im Raum ist deren Verbindungsgerade.
Die affine Hülle von drei Punkten des Raumes ist eine Gerade (falls die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen) oder die Ebene, auf der alle drei Punkte liegen.
Die affine Hülle einer ebenen Figur im Raum (Dreieck, Kreis usw.) ist die Ebene, die die Figur enthält.