Online-Bibliothek

Algebra (Struktur)

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen siehe Algebra (Begriffsklärung).

Eine Algebra (Plural: Algebren) ist eine spezielle Form eines Rings.

Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Arten von Algebren:

• Boolesche Algebren, insbesondere Mengenalgebren wie z.B. σ-Algebren
• Algebren über Ringen, die eine Art Synthese aus den Begriffen Vektorraum und Ring darstellen.

Dieser Artikel beschäftigt sich ausschließlich mit dem zweitgenannten Begriff.

Auch dieser Begriff „Algebra“ wird in der Literatur nicht einheitlich benutzt; meist ist aber aus dem Kontext klar, welche genaue Definition gemeint ist.

Stets zutreffend ist das Folgende:

Eine Algebra A über einem Körper k ist ein k-Vektorraum mit einer k-bilinearen Verknüpfung

Multiplikation genannt, die durch x · y oder xy symbolisiert wird. (Diese Verknüpfung ist unabhängig von der Multiplikation im Körper und derjenigen von Körperelementen mit Vektoren; die Verwendung desselben Symbols führt jedoch nicht zu Verwechslungen, da aus dem Kontext hervorgeht, welche Verknüpfung gemeint ist).

Ein bekanntes Beispiel ist das Kreuzprodukt im R³. Dieses ist sogar eine Lie-Algebra.

Allgemeiner kann k ein kommutativer Ring sein, dann ist „Vektorraum“ durch „Modul“ zu ersetzen.

Explizit bedeutet das für Elemente x, y, z von A und Skalare λ in k:

Weitere Attribute

Die Eigenschaften „assoziativ“, „kommutativ“ oder „unitär“ werden häufig ohne explizite Erwähnung vorausgesetzt.

• Eine assoziative Algebra ist eine Algebra, in der für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt. (Häufig wird die Formulierung „assoziative Algebra“ aber benutzt, um anzuzeigen, dass keine Kommutativität gefordert wird.) Eine assoziative Algebra ist ein Ring.

• Eine kommutative Algebra ist eine (meist assoziative) Algebra, in der für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt.

• Eine Divisionsalgebra ist eine Algebra, in der man „dividieren“ kann, d.h. in der Gleichungen ax = b oder xa = b für a ≠ 0 stets lösbar sind.

• Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten (in Liealgebren wird das Produkt meist als [x,y] geschrieben):
  • [x,x] = 0
  • [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 (Jacobi-Identität)

Lie-Algebren sind bei weitem die wichtigsten nicht assoziativen Algebren.