Algebraische Gruppe

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Definition

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper, d.h. eine Varietät $G$ über einem Körper $k$ zusammen mit

einem Morphismus $m\colon G\times G\to G$ (Multiplikation)
einem Morphismus $i\colon G\to G$ (inverses Element)
und einem ausgezeichneten Punkt $e\in G(k)$ (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Assoziativgesetz: $m\circ(m\times\mathrm{id}_G)=m\circ(\mathrm{id}_G\times m)$ ;
neutrales Element: $m\circ(\mathrm{id}_G\times e)=\mathrm{id}_G=m\circ(e\times\mathrm{id}_G)$ ;
inverses Element: $m\circ(i\times\mathrm{id}_G)\circ\Delta_G=e\circ\xi=m\circ(\mathrm{id}_G\times i)\circ\Delta_G$ ; dabei ist $\Delta_G\colon G\to G\times G$ die Inklusion der Diagonale und $\xi\colon G\to k$ der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass $(m, i, e)$ für jedes $k$ -Schema $T$ auf der Menge $G (T)$ der $T$ -wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele

Die additive Gruppe $\mathbb G_{\mathrm a}$ : $\mathbb G_{\mathrm a}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T)$ mit der Addition als Gruppenstruktur.
Die multiplikative Gruppe $\mathbb G_{\mathrm m}$ : $\mathbb G_{\mathrm m}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T^\times)$ mit der Multiplikation als Gruppenstruktur.
Die allgemeine lineare Gruppe $GL n$ : $\mathrm{GL}_n(T)=\mathrm{GL}_n(\Gamma(T,\mathcal O_T))$ ; dabei ist bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren $n\times n$ -Matrizen mit Einträgen in dem Ring $\Gamma(T,\mathcal O_T)$ . $GL 1$ kann mit $\mathbb G_{\mathrm m}$ identifiziert werden.
Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.