Bahnelement

Bahnelemente der Planeten

Die Bahnelemente beschreiben die mittlere Bahn eines Astronomischen Objekts. Die Bewegung wird mit den drei Keplerschen Gesetzen behandelt.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Bahnelemente
2 Die Angabe von Bahnelementen
3 Quellen
4 Siehe auch
5 Literatur
6 Weblinks

Die Bahnelemente

Zur Definition einer störungsfreien Keplerbahn sind prinzipiell 6 Bahnelemente erforderlich. Im Zweikörperproblem (ohne Bahnstörungen durch dritte Körper und nicht-gravitative Einflüsse) genügen diese 6 Bahnelemente.

Bahnstörungen verursachen eine langsame Änderung der 6 Bahnelemente, sodass diese nur oskulierende Elemente sind, das heißt: sich der Keplerellipse nur während eines kurzen Zeitraums anschmiegen. Oft wird daher noch ein siebentes Bahnelement angegeben, einige Störungen können auch durch Angabe zeitlicher Änderungen der Bahnelemente berücksichtigt werden.
Prinzipiell wird aber die Oskulationsepoche $E$ angegeben, für die die Daten gelten.

Für Objekte, die starken Störungen unterliegen, werden zusätzliche Elemente angeführt.

Die Gestaltelemente

Zur Beschreibung der Gestalt sind zwei Werte erforderlich. Ein Wert für die Form und ein Wert für die absolute Größe, also eine Längenangabe. Für alle drei Kegelschnittarten (Ellipse, Parabel, Hyperbel) wird die Form mit der Exzentrizität angegeben und die Größe kann entweder mit Hilfe des sogen. Parameters oder mit der Periapsisdistanz beschrieben werden. Einige andere Angaben sind dazu redundant.

Die numerische Exzentrizität $ε$: (Sie wird in der Astronomie auch mit $e$ bezeichnet).
Der Parameter $p$

Das sind die grundlegendenden Parameter der allgemeinen Form einer Keplerbahn:

$r (\varphi) = {p \over { 1 + e \cdot cos \varphi}}$

In Spezialfällen werden folgende Werte verwendet, die sich direkt daraus ableiten:

Die große Halbachse $a,α$: Sie ist bei Ellipsenbahnen am zweckmäßigsten. Sie wird im allgemeinen entweder in km oder in AE angegeben.; Beispiel Erdbahn: große Halbachse = 149,597 Mio. km = 1 AE
Die Periapsisdistanz $q, r m i n$: Entfernung des Hauptscheitels vom Brennpunkt. Typisches Bahnelement eines Kometen, $Q$ bezeichnet dann $r m a x$ (auch $R$ ), die Apoapsisdistanz periodischer Kometen.
Der Exzentrizitätswinkel $Φ$: Als Alternative zur Exzentrizität; $s i n Φ = ε$

Die Lageelemente

Zur Beschreibung der Lage im Raum sind ebenfalls zwei Werte erforderlich.

Die Inklination $i$: Das ist der Winkel der Bahnebene zur Referenzebene.
Das Argument des Knotens (Knotenlänge) $Ω$: Der Winkel vom Koordinatennullpunkt der Referenzebene zum aufsteigenden Knoten.; Beispiel: Die Knotenlänge der Bahn eines Planeten ist die ekliptikale Länge des aufsteigenden Knotens (das ist der Winkel vom Frühlingspunkt zum aufsteigenden Knoten). Die Knotenlänge eines Satelliten ist die Rektaszension (entlang des Erdäquators) bezüglich des Frühlingspunkts.
Das Argument der Periapsis $ω$: Der Winkel vom aufsteigenden Knoten zur Periapsis.; Im Sonnensystem ist es üblicherweise das Argument des Perihels. Für den Mond oder Erdsatelliten ist es das Argument des Perigäums.
Die Länge der Periapsis $Π$: als gebrochener Winkel, von denen der erste Summand in der Referenzebene, der zweite in der Bahnebene gemessen wird. Sie ist eine brauchbare Vereinfachung, wenn die Bahnneigung klein ist, zum Beispiel die Perihellänge eines Planeten.; $Π = Ω + ω$
Koordinaten der Periapsis $L π, B π$ (Winkelelemente): Bei der Analyse von Gemeinsamkeiten in den Bahnelementen, insbesondere bei Kometengruppen oder Meteorströmen, benutzt man die Ekliptikalen Winkelkoordinaten der Apsidenlinie bzw. des Periheldurchgangs in Länge und Breite.; $L_\pi=\Omega + \arctan ( \tan\omega \cdot \cos i )$; $B_\pi=\arcsin ( \sin\omega \cdot \sin i )$

Der Zeitbezug

Auch für den Zeitbezug sind zwei Werte nötig. Man benötigt einen Wert für die Geschwindigkeit (Linear oder Winkel) und einen absoluten Zeitpunkt. Hier gibt es mehrere Möglichkeiten:

Geschwindigkeit

Die Umlaufperiode P: Für die Umlaufperiode wird entweder die Bahnperiode (anomalistische Umlaufzeit) angegeben oder eine andere Umlaufzeit, etwa für die Planeten des Sonnensystems die siderische Umlaufzeit, die bei der Erde in tropischen Jahren gemessen wird.
Die mittlere tägliche Bewegung $μ$: Wird für schnell umlaufende Objekte wie nichtstationäre Satelliten benutzt; $\mu = { {( 360 \cdot 60 \cdot 60)} \over {P_{Tage}} }\;\mathrm{s / d}$
Die mittlere Anomalie $M$: Für Satelliten und andere Objekte, die starken Bahnstörungen unterliegen wie dem Mond, wird im allgemeinen die mittlere Anomalie zu einem bestimmten Zeitpunkt verwendet.
Die mittlere Länge $λ, L$: Sie wird gewählt, wenn die Exzentrizität zu klein ist, um mit der Anomalie den Bahnort zu bestimmen; wie die Periapsislänge $Π$ als gebrochener Winkel gezählt.; $L = M + Π$

Zeitmarke

Die Periapsiszeit $T,τ$: Der Zeitpunkt des Periapsisdurchgangs
Der Radiusvektor $R$: Die aktuelle Distanz des Körpers zum Zentralobjekt.

Zusätzliche Elemente

Zur hinreichenden Beschreibung von Bahnstörungen – etwa wenn sich der Körper nicht im hinreichend idealen Vakuum oder einem nahen Mehrkörpersystem bewegt – werden außer den sechs grundlegenden Elementen weitere Bahnelmente angegeben.

Der Widerstandskoeffizient, als $π / 2, B, B *$: Für niedrig-orbitale Raumflugkörper, die noch den Reibungsverlusten durch die Erdatmosphäre unterworfen sind.

Übersicht

Bahnelemente
				Verwendbarkeit
Bahnelement	Bezug	Symbol	Dimension	Ellipse	Parabel / Hyperbel
Exzentrizität	Form	e, ε	1	Ja	Ja
Exzentrizitätswinkel	Form	Φ	1	Ja	Nein
Parameter	Größe	p	Länge	Ja	Ja
Periapsis	Größe	q	Länge	Ja	Ja
Große Halbachse	Größe	a, α	Länge	Ja	Nein
Inklination	Lage	i	1 (°)	Ja	Ja
Argument des Knotens ³⁾	Lage	Ω	1 (°)	Ja	teilweise ¹⁾
Argument der Periapsis ³⁾	Lage	ω	1 (°)	Ja	Ja
Länge der Periapsis	Lage	Π	1 (°)	Ja	Ja
Erste Koordinate der Periapsis	Lage	L_π	1 (°)	Ja	Ja
Zweite Koordinate der Periapsis	Lage	B_π	1 (°)	Ja	Ja
Umlaufperiode	Zeitverhalten	P	Zeit / Winkel	Ja	Nein
Lineare Bahngeschwindigkeit, (Bewegung pro Tag)	Zeitverhalten	V, μ	Länge / Zeit	Ja	Ja
Winkelgeschwindigkeit	Zeitverhalten		1 (°) / Zeit	Ja	Ja
Mittlere Anomalie ²⁾	Zeitfixierung	M	° (Zeit)	Ja
Mittlere Länge ²⁾	Zeitfixierung	λ, L	° (Zeit)	Ja
Periapsiszeit	Zeitfixierung	T, τ	Zeit	Ja	Ja
Radiusvektor ²⁾	Zeitfixierung	R	Länge (Zeit)	Ja	Ja

¹⁾ offene Bahnen haben nicht immer einen aufsteigenden Knoten.

²⁾ Zu einem bestimmten Zeitpunkt.

³⁾ Zueinander abhängig.

Zur Bestimmung benötigt man:

Eine Formangabe
Eine Größenangabe
Zwei voneinander unabhängige (nicht in einer Ebene liegende) Winkel
Eine Angabe zum Zeitverhalten
Eine Angabe zur Zeitfixierung

Die Angabe von Bahnelementen

Die Angabe als 6-Tupel (p, e, i, Ω, ω, T) bezeichnet man als klassische Bahnelemente^[1]. Daneben gibt es auch andere Möglichkeiten, die dem jeweiligen Fall angepasst sind, und dann meist kanonisch innerhalb eines Formalismus geregelt ist:

(a, e, i, Ω, ω, T), eine besonders für die Planeten des Sonnensystems geeignete Methode
(a, e, i, Ω, ω, M), für den Pluto und die Kleinplaneten, wie sie der Astronomical Almanac verwendet^[2].
(a, e, i, Ω, π, L) gibt etwa die Planetentheorie VSOP 82 auf indirektem Wege.
(i, Ω, e, ω, M, n), das System des NASA/NORAD Two Line Elements Format für Erdsatelliten

Quellen

↑ Guthmann, S. 163
↑ Vollmann, 8.1

Siehe auch

Satellitenbahnelement – spezielle Bahnangaben für Erdsatelliten
Umlaufbahn – die geschlossene Keplerbahn

Literatur

Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4
Wolfgang Vollmann: Wandelgestirnörter. In: Hermann Mucke (Hrsg.): Moderne astronomische Phänomenologie. 20. Sternfreunde-Seminar, 1992/93. Zeiss Planetarium der Stadt Wien und Österreichischer Astronomischer Verein 1992, S. 55–102 (weblink, 6. August 2006)