Beschleunigungsspannung

Durch Anlegen einer Beschleunigungsspannung werden elektrisch geladene Teilchen beschleunigt und damit auf teils hohe Geschwindigkeiten gebracht.

Inhaltsverzeichnis

1 Anwendungen
2 Relativistische Behandlung
3 Klassische Näherung
4 Unabhängigkeit von der Strecke

Anwendungen

An den verschiedensten Stellen von Technik und Wissenschaft werden geladene Teilchen in unterschiedlichsten Geschwindigkeiten und damit kinetische Energien benötigt. Dies reicht von wenigen eV in Röhren bis GeV oder gar TeV in Teilchenbeschleunigern. Aber auch in jeder Bildröhre sorgt eine Beschleunigungsspannung dafür, dass die Elektronen mit hoher Geschwindigkeit auf die von innen mit einer Leuchtschicht versehene Frontseite der Bildröhre trifft und somit Licht erzeugt.

Relativistische Behandlung

In den Laboratorien erreichen Teilchen Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit $c$ . Deshalb kann man nicht mehr klassisch rechnen. Man muss relativistisch rechnen, da die Geschwindigkeit nicht mehr proportional zur angewandten Beschleunigung ist. Man misst deshalb nicht mehr die Geschwindigkeit, sondern die Energie in eV (Elektronenvolt).

Für die Geschwindigkeit nach der Beschleunigung gilt

$v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\left( 1 + \frac{q U}{m_0 c^2} \right)^2}}$

Herleitung

Nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsspannung U erhöht sich die Energie eines Teilchen mit der Ladung e um

$\Delta E = e \cdot U$

Weiterhin gilt die Äquivalenz von Masse und Energie

$\Delta E= \Delta m \cdot c^2$

Für die Beschleunigung eines Elektrons ergibt sich somit

$\Delta m= \frac{eU}{c^2}$

Für die Gesamtmasse gilt nun

$m = m_0 + \Delta m \, \Rightarrow \, m = m_0 + \frac{eU}{c^2} \, \Rightarrow \, \frac{m}{m_0} = 1 + \frac{eU}{m_0 c^2}$

Ersetzt man $\frac{m}{m_0}$ durch $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ , so erhält man

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{eU}{m_0 c^2}$

woraus man durch umformen

$1=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{eU\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{m_0 c^2} \, \Leftrightarrow \, \frac{-1}{\left(1+\frac{eU}{m_0 c^2}\right)^2}=-1+\frac{v^2}{c^2} \, \Leftrightarrow\, v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\left( 1 + \frac{e U}{m_0 c^2} \right)^2}}$

erhält.

Klassische Näherung

Für kleine Geschwindigkeiten $\left(v \ll c\right)$ gilt auch die folgende Gleichung als Näherung:

$v = \sqrt{2 U \frac{q}{m}}$

Unabhängigkeit von der Strecke

Aus den obigen Formeln kann man ersehen, dass die Geschwindigkeit eines Teilchens nur von der Spannung und den physikalischen Eigenschaften des Teilchens abhängt. Der Abstand von Kathode zu Anode spielt keine Rolle. Je größer der Abstand der beiden Elektroden ist, um so kleiner ist die elektrische Feldstärke und somit auch die Beschleunigung. Dafür legt das Teilchen, während es beschleunigt wird, eine längere Strecke zurück, an dessen Ende das Teilchen die gleiche Geschwindigkeit hat wie bei kurzer Strecke und hoher Beschleunigung.

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