Bruchrechnung

Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht 1⁄4. Wie man sieht, entsprechen zwei Teile (2 x 1⁄4 = 2⁄4) einem halben (=1⁄2) Kuchen.

Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht ¹⁄₄. Wie man sieht, entsprechen zwei Teile (2 x ¹⁄₄ = ²⁄₄) einem halben (=¹⁄₂) Kuchen.

Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch (manchmal auch gewöhnlicher Bruch, englisch vulgar fraction, oder verallgemeinert auf die ganzen Zahlen eine Bruchzahl) ist dabei die Darstellung einer rationalen Zahl als Quotient (d. h. als Ergebnis einer Division), er drückt also ein Verhältnis oder einen Anteil aus.

Definition und Bezeichnungen

Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung von Zähler und Nenner, getrennt durch einen waagerechten Strich, dargestellt:

$\frac{Z}{N}$

der Zähler Z ist dabei der Dividend der Division, der Nenner N ist der Divisor. Jede Division lässt sich als Bruch schreiben. (Strenggenommen gilt dies nur, falls die Multiplikation kommutativ ist, denn in der Bruchschreibweise kann man nicht zwischen Z×(1/N) und (1/N)×Z unterscheiden.)

Zähler und Nenner einer konkreten Bruchzahl sind ganze Zahlen, für Brüche im Allgemeinen können sie aber auch algebraische Ausdrücke sein. Dabei darf der Nenner niemals Null sein, da eine Division durch Null nicht definiert ist (und sich nicht sinnvoll definieren lässt).

Ist der Zähler in einem Bruch 1 (z. B. 1/2 oder 1/9), spricht man von einem Stammbruch, alle anderen sind abgeleitete oder Zweigbrüche.

Wenn bei Zweigbrüchen der Betrag des Zählers kleiner als der des Nenners ist, so handelt es sich um echte (eigentliche) Brüche (z. B. 6/7 oder 2/5), andernfalls von unechte (uneigentliche) Brüche (z. B. 7/6 oder 11/3).

Im Alltag schreibt man auch gemischte Brüche, also den ganzzahligen Anteil, d. h. die zur Null hin gerundete Zahl, und anschließend den Divisionsrest (kurz Rest) als echten Bruch, zum Beispiel 1½ statt 3/2. In manchen Ländern wie Frankreich sind gemischte Brüche unüblich.

Beispiele für Brüche

$\frac{2}{3}$

der Bruch mit der 2 im Zähler und der 3 im Nenner bedeutet "zwei Drittel", also zwei Teile eines in drei gleichgroße Teile geteilten Ganzen.

$\frac{3}{4}$

bedeutet entsprechend "drei Viertel".

Es ist hierbei implizit verstanden, dass "ein Ganzes" aus "drei (gleich großen) Dritteln", "vier (gleich großen) Vierteln" usw. besteht. Somit wird klar, dass man einen Bruch auch als eine rationale Zahl auffassen kann, die man bei der Division des Zählers durch den Nenner erhält.

$\frac{3}{4} \; = \; 3 : 4 \; = \; 3 / 4 \; = \; 0{,}75$

Brüche können gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner mindestens einen gemeinsamen ganzzahligen Teiler haben. Dabei ist es hilfreich, wenn man den Zähler und den Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.

$\frac{6}{8} \; = \; \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2} \; = \; \frac{3}{2 \cdot 2} \; = \; \frac{3}{4}$

Auch algebraische Ausdrücke, die Variablen enthalten, kann man als Bruch schreiben:

$\frac{2x}{5}$

bedeutet "zwei x geteilt durch Fünf".

Rechenregeln speziell

Addition (von gleichnamigen Brüchen)

$\frac{a}{n} \; + \; \frac{b}{n} \; = \; \frac{a + b}{n}$

Subtraktion (von gleichnamigen Brüchen)

$\frac{a}{n} \; - \; \frac{b}{n} \; = \; \frac{a - b}{n}$

Multiplikation

$\frac{a}{b} \; \cdot \; n \; = \; \frac{a \cdot n}{b}$

Division

$\frac{a}{b} \; : \; n \; = \; \frac{a}{b \cdot n}$

Rechenregeln allgemein

Addition

$\frac{a}{b} \; + \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Subtraktion

$\frac{a}{b} \; - \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

Multiplikation

$\frac{a}{b} \; \cdot \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Division

$\frac{a}{b} \; : \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a}{b} \; \cdot \; \frac{d}{c} \; = \; \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Man dividiert also durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Die Division wird also auf die Multiplikation zurückgeführt.

Potenzen

$\frac{a^n}{b^m} = a^n \cdot b^{-m}$

--> Beispiel: $\frac{3}{2} = 3 \cdot 2^{-1}$

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$

--> Beispiel: $\frac{x^3}{x^2} = x^3 \cdot x^{-2} = x^{3-2} = x$

$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

--> Beispiel: $\frac{3^2}{2^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$

Kürzen und Erweitern

$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} \; = \; \frac{a}{b}$

$\frac{a}{b} \; = \; \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

Ein paar hilfreiche Eselsbrücken in diesem Zusammenhang sind:

Faktoren kürzen, das ist brav; wer Summen kürzt, der ist ein Schaf.
Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.
Was du oben tust, machst du auch unten!

Weitere Darstellungsformen

Brüche kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B.:
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ,

$\frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ,

$\frac{1}{72} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$ ,

$\frac{1}{60} = \frac{-1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{8}{5}$ .