Charakter (Mathematik)

Im mathematischen Teilgebiet der Darstellungstheorie sind Charaktere gewisse Homomorphismen in den Grundkörper.

Inhaltsverzeichnis

1 Charaktere einer Gruppe
2 Charaktere von Darstellungen

Charaktere einer Gruppe

Abstrakte und topologische Gruppen

Es sei $G$ eine abstrakte Gruppe oder eine topologische Gruppe. Ein Charakter von $G$ ist ein Gruppenhomomorphismus

$G\to\mathbb C^\times$

in die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen; bei topologischen Gruppen wird noch Stetigkeit gefordert. Ein unitärer Charakter ist ein Charakter, dessen Bild in $S^1=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\}$ liegt.

Hinweis: Häufig werden allgemeine Charaktere als Quasi-Charaktere und unitäre Charaktere als Charaktere (ohne Zusatz) bezeichnet.

Eigenschaften

Die Charaktere von $G$ bilden mit der durch

$(\chi\cdot\psi)(g)=\chi(g)\cdot\psi(g)$

erklärten Gruppenverknüpfung eine abelsche Gruppe, die Charakterengruppe.

Pontrjagin-Dualität: Für lokalkompakte abelsche Gruppen ist die Gruppe der unitären Charaktere mit der Kompakt-offen-Topologie wiederum eine lokalkompakte Gruppe; sie wird auch duale Gruppe $G^\land$ genannt. Die duale Gruppe von $G^\land$ ist auf natürliche Weise zur Ausgangsgruppe $G$ isomorph.

Die Charaktere von $G$ entsprechen den eindimensionalen komplexen Darstellungen von $G$ , die unitären Charaktere den unitären eindimensionalen Darstellungen.

Ein Charakter ist genau dann unitär, wenn $\chi(g^{-1})=\overline{\chi(g)}$ für alle $g\in G$ gilt.

Ist $G$ endlich, so ist jeder Charakter unitär.

Für einen Charakter $χ$ einer endlichen Gruppe $G$ gilt

$\sum_{g\in G}\chi(g) = \begin{cases} \#G & \mathrm{falls}\ \chi=1 \\ 0 & \mathrm{sonst}; \end{cases}$

dabei steht 1 für den trivialen Charakter mit

χ(g) = 1

für alle $g\in G$ . Eine analoge Aussage gilt für kompakte topologische Gruppen; dabei ist die Summe durch ein Integral zu ersetzen.

Dirichlet-Charaktere

In der Zahlentheorie versteht man unter einem Dirichlet-Charakter einen Charakter $χ$ auf der Gruppe

$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} = \{k\ (mod\ n) | ggT(k,n)=1\}.$

Für einen solchen Charakter definiert man eine ebenfalls als Dirichlet-Charakter bezeichnete Funktion

$\chi \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ ,

$\chi(k) = \begin{cases} \chi(k\ (mod\ n)) & \mathrm{falls} \ ggT(k,n)=1 \\ 0 & \mathrm{falls} \ ggT(k,n)>1 \end{cases}$ .

Dirichlet-Charaktere spielen eine wichtige Rolle beim Beweis des Dirichletschen Satzes über die Existenz unendlich vieler Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Dabei betrachtet man sogenannte L-Reihen, das sind Dirichletreihen mit einem Dirichlet-Charakter als Koeffizienten.

Da für endliche abelsche Gruppen die Charaktergruppe isomorph zur Ausgangsgruppe ist, gibt es $\varphi(n)$ verschiedene Charaktere auf der Gruppe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ , dabei ist $\varphi(n)$ die Eulersche Phi-Funktion.

Für $n = 5$ ist beispielsweise $\varphi(5)=4$ , d.h. es gibt neben dem Haupt- oder trivialen Charakter $χ 1$ noch drei weitere Charaktere:

k	1	2	3	4
$χ 1 (k)$	1	1	1	1
$χ 2 (k)$	1	-1	-1	1
$χ 3 (k)$	1	i	-i	-1
$χ 4 (k)$	1	-i	i	-1

Für einen Dirichlet-Charakter $χ$ gilt:

$\sum_{k\ (mod\ n)} \chi(k) = \begin{cases} \varphi(n) & \mathrm{falls}\ \chi = \chi_1 \\ 0 & \mathrm{sonst}\end{cases}$

Für ein festes $k \in \mathbb{Z}$ gilt:

$\sum_{\chi} \chi(k) = \begin{cases} \varphi(n) & \mathrm{falls}\ k \equiv 1 \mathrm{(mod\ n)} \\ 0 & \mathrm{sonst}\end{cases}$

wobei die Summe über alle Charaktere $\chi \ (mod\ n)$ genommen wird.

Ein Dirichlet-Charakter ist eine vollständig multiplikative zahlentheoretische Funktion.

Algebraische Gruppen

Ist $G$ eine algebraische Gruppe, so ist ein Charakter von $G$ ein Homomorphismus $G\to\mathbb G_\mathrm m$ ; dabei ist $\mathbb G_\mathrm m$ die multiplikative Gruppe. Die Charaktere von $G$ bilden eine (abstrakte) abelsche Gruppe, die mit $X (G)$ oder $X * (G)$ bezeichnet wird.

Charaktere von Darstellungen

Ist $G$ eine Gruppe, $K$ ein Körper und $ρ$ eine endlichdimensionale $K$ -lineare Darstellung von $G$ , so heißt die Abbildung

$\chi\colon G\to K,\quad g\mapsto\operatorname{tr}\rho(g),$

die einem Gruppenelement $g$ die Spur des entsprechenden $K$ -linearen Automorphismus $ρ(g)$ zuordnet, der Charakter von $ρ$ . Im eindimensionalen Fall handelt es sich um einen Charakter von $G$ im oben definierten Sinne. Im allgemeinen Fall ist $χ$ jedoch nicht multiplikativ.

Charaktere sind konstant auf Konjugationsklassen. Eine tabellarische Aufstellung der Werte der Charaktere der irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe auf den einzelnen Konjugationsklassen nennt man Charaktertafel.

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