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Clairaut-Gleichung

Die Clairaut-Differentialgleichung ist eine einfach nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Sie ist nach dem französischen Wissenschaftler Alexis-Claude Clairaut benannt.

Zu einer vorgegebenen reellen Funktion f hat sie die folgende Form:

Ist also ein Spezialfall der D'Alembert-Differentialgleichung

Durch das folgende Verfahren kann man die Lösung bestimmen: Durch Differentiation der Clairaut-Differentialgleichung erhält man

y' = y' + xy'' + f'(y')y''

y''(x + f'(y')) = 0

Einer der Faktoren muss gleich 0 sein:

y'' = 0

Einsetzen in die ursprüngliche Differentialgleichung liefert

ax + b = ax + f(a)

b = f(a)

Das Ergebnis ist somit eine Gerade in der xy - Ebene

y = ax + f(a)

mit dem freien Parameter a (der z. B. durch Anfangsbedingungen festgelegt werden kann).

Ist der andere Faktor gleich 0 so gilt

x = − f'(y').

Wir betrachten nun y' als Parameter der Lösungskurve:

x = − f'(t).

Einsetzen in die ursprüngliche Differentialgleichung:

y = − tf'(t) + f(t)

Man kann nun die Schnittpunkte zwischen den Geradenlösungen und der parametrisierten Lösungskurve ermitteln:

ax + f(a) = − tf'(t) + f(t)

− af'(t) + f(a) = − tf'(t) + f(t).

Offensichtlich gibt es einen Schnittpunkt bei t = a; die Steigung der parametrisierten Lösung ist dort gleich der Steigung der Geraden:

.

Die Geradenlösungen sind also Tangenten der parametrisierten Lösung. Wenn die parametrisierte Lösung keine Wendepunkte hat, so trennt sie die Ebene daher in einen Bereich, in dem durch jeden Punkt 2 Geradenlösungen laufen, und einen Bereich, der frei von Lösungen ist; sie wird dann als Einhüllende bezeichnet. Lösungen sind dann nicht nur die Einhüllende selbst und die Geradenlösungen, sondern auch Lösungskurven, die stückweise auf Geraden und stückweise auf der Einhüllenden verlaufen.