Dedekindscher Schnitt

Ein Dedekindscher Schnitt ist in der Mathematik eine Teilmenge der rationalen Zahlen, mit der sich eine reelle Zahl darstellen lässt. Auf diese Weise kann man die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen konstruieren. Benannt ist diese „Methode der Dedekindschen Schnitte“ nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind. Sie kann allgemein zur Vervollständigung von Ordnungen verwendet werden, die wie die rationalen Zahlen in sich dicht liegen. Auch bei dieser Verallgemeinerung der Methode sind die Bezeichnungen üblich, die in diesem Artikel definiert und benutzt werden.

Eine Teilmenge $α$ der rationalen Zahlen ist genau dann ein Dedekindscher Schnitt, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

$α$ ist nicht leer und $\alpha \neq \mathbb Q$ .
$α$ ist nach unten abgeschlossen, das heißt wenn $p\in \alpha$ und $p > q \in \mathbb Q$ , dann ist auch $q \in \alpha$ .
$α$ enthält kein größtes Element, das heißt für jedes $p\in \alpha$ gibt es ein $r\in \alpha$ mit $p < r$ .

Konstruktion der reellen Zahlen

Sei $\mathbb R$ die Menge der Dedekindschen Schnitte. Einer Zahl $x\in \mathbb Q$ ordnet man den Dedekindschen Schnitt $x^*=\{s\in \mathbb Q|s<x\}$ zu.

Seien $α$ und $β$ zwei Dedekindsche Schnitte.

Ordnung

$α < β$ genau dann, wenn $α$ echte Teilmenge von $β$ ist.

Dies definiert eine strenge Totalordnung auf $\mathbb R$ . Diese ist sogar (nach Konstruktion) ordnungsvollständig.

Addition

$\alpha + \beta = \{r+s|r\in \alpha, s\in \beta\}$ .

Man kann zeigen, dass dies tatsächlich eine Addition definiert und dass es zu jedem Dedekindschen Schnitt $α$ ein additiv inverses Element $- α$ gibt.

Multiplikation

Falls sowohl $α > 0 *$ als auch $β > 0 *$ dann ist

$\alpha \beta = \{p\in \mathbb Q| \exists 0<r\in \alpha, 0<s\in \beta: p\leq rs\}$ .

Diese Multiplikation kann man auf ganz $\mathbb R$ ausdehnen indem man

α0 * = 0 * α = 0 *

und

$\alpha\beta = \begin{cases} (-\alpha)(-\beta) & \alpha, \beta < 0^* \\ -((-\alpha)(\beta)) & \alpha < 0^*, \beta > 0^* \\ -((\alpha)(-\beta)) & \alpha > 0^*, \beta < 0^* \end{cases}$

definiert.

Verallgemeinerungen

Eine zu den Dedekindschen Schnitten sehr ähnliche Methode wird zur Konstruktion der surrealen Zahlen benutzt.
Jede (in sich) dichte strenge Totalordnung (M,<) lässt sich mit Hilfe von Dedekindschen Schnitten (auf M statt $\mathbb{Q}$ ) in eine ordnungsvollständige Ordnung N einbetten. Im Sinne der Ordnungstheorie ist eine total geordnete Menge in sich dicht geordnet, wenn zwischen zwei verschiedenen Elementen stets ein drittes liegt. Ob und wie sich andere auf M vorhandene Strukturen (wie hier die Verknüpfungen Addition und Multiplikation) „sinnvoll“ auf N fortsetzen lassen, hängt vom speziellen Anwendungsfall ab.
Ist M nicht „zu groß“ (genauer: falls die Ordnungstopologie auf M metrisierbar ist), dann entspricht die Vervollständigung durch Dedekindsche Schnitte (bis auf Isomorphie) der metrischen Vervollständigung (durch Cauchy-Folgen).