Differenzengleichung

In der Mathematik wird durch eine Differenzengleichung (DzGl) (auch als Rekursionsgleichung bezeichnet) eine Folge rekursiv definiert. D.h. jedes Folgenglied ist eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder:

$x n = f (x n - 1, x n - 2,..., x 1, x 0)$

Eine Spezialform sind die linearen Differenzengleichungen.

Inhaltsverzeichnis

1 Herkunft und Anwendung
2 Zusammenhang Differenzengleichung und z-Transformation
- 2.1 Vom Z-Bildbereich zum Zeitdiskreten
- 2.2 Vom Zeitdiskreten in den z-Bildbereich
  - 2.2.1 mit Hilfe der Übertragungsfunktion
3 Differenzengleichungen in der Ökonomie
4 Siehe auch
5 Literatur

Herkunft und Anwendung

In der Ingenieurwissenschaft ist die Differenzengleichung eine Rechenvorschrift zur Berechnung einer Ausgangsfolge respektive Ausgangssignal. Im Sinne der Zeitreihenanalyse lässt sich eine Differenzengleichung auch allgemeiner als Gleichung, mit der sich die Werte einer Zeitreihe berechnen lassen, die rekursiv zusammenhängen, definieren.

Nach der Diskretisierung eines kontinuierlichen Signals kann aus der Folge keine Ableitung mehr berechnet werden, man muss sich hier des Differenzenquotienten bedienen. Sie ist im Grunde das zeitdiskrete Pendant zur Differentialgleichung und findet ihre Anwendung vor allem in der digitalen Signalverarbeitung (z.B. im Zusammenhang mit dem Entwurf von Filtern).

Anwendungsbeispiele aus der Zeitreihenanalyse sind die Tilgungsrate eines Annuitäten-Kredits (deterministischer Zusammenhang) oder der Bestand an Arbeitslosen (stochastischer Zusammenhang).

Zusammenhang Differenzengleichung und z-Transformation

Die z-Transformation nimmt die gleiche Stellung für zeitdiskrete Signale (Folgen), wie die Laplacetransformation für den kontinuierlichen Zeitbereich.

Vom Z-Bildbereich zum Zeitdiskreten

Vom Zeitdiskreten in den z-Bildbereich

Es gibt hier viele Möglichkeiten: Durch Tabellen, Taylorreihenentwicklung, nichtabbrechende Division u.a.

mit Hilfe der Übertragungsfunktion

Ausdrücke in $z$ können sehr einfach mit Hilfe einer Übertragungsfunktion der Variablen und eines Stoßes (im Diskreten) in eine Differenzengleichung übersetzt werden.

Betrachtet man beispielsweise die Funktion

$a(z)=\frac{2 + 3z^{-1}}{1 + z^{-1}}$

dann erhält man als zwei einzelne Funktionen für $a (z)$ und 1

$a(z) \cdot ( 1 + z^{-1} ) = ( 2 + 3z^{-1}) \cdot 1$

Multipliziert man dies Gleichung aus

$a(z) + a(z) \cdot z^{-1} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot z^{-1} \cdot 1$

so erkennt man, dass ein Vergleich gleicher Koeffizienten der Filter $a (z)$ und 1 mittels Indexverschiebung

$k\mapsto u(k-N) \Leftrightarrow z^{-N} \cdot u(z)=\sum_i u(i)z^{-i-N}=\sum_k u(k-N)z^{-k}$

möglich wird:

$a(k) + a(k-1) = 2 \cdot \delta (k) + 3 \cdot \delta (k-1)$

Eine beschränkte Lösung dieser Differenzengleichung kann mittels der geometrischen Reihe bestimmt werden, dazu wird der Nenner durch Erweitern auf die Form $1+\frac23z$ gebracht:

$a(z)=\frac13\cdot\frac{1+z}{1+\frac23z}=\frac13(1+z)\sum_{k=0}^\infty (2z/3)^k$

woraus sich

$a_k = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn }k<0\\ \frac{1}{3} & \mbox{wenn }k=0\\ \frac{2^k}{3^{k+1}}+\frac{2^{k-1}}{3^k}=\frac{5\cdot2^{k-1}}{3^{k+1}} & \mbox{wenn }k>0 \end{cases}$

ergibt.

Dies ist eine Anwendung der erzeugenden Funktionen.

Anmerkung: Der diskrete Deltastoss $δ(k) = δ 0, k$ hat immer den Wert 0, außer bei k=0. Dort ist er nicht definiert. Die rechte Seite tritt hier also als Teil der Anfangsbedingungen auf.

Differenzengleichungen in der Ökonomie

In der ökonomischen Theorie kommen Diffenrenzengleichungen vor allem zum Einsatz, um die Entwicklung ökonomischer Größen über die Zeit zu analysieren. Vor allem Konjunktur und Wachstum werden vielmals in Form von Differenzengleichungen abgebildet. Man geht dabei davon aus, dass z.B. das Bruttoinlandsprodukt sich auf einem bestimmten Pfad hin zu einem langfristigen Gleichgewicht entwickelt in dem alle Kapazitäten ausgelastet sind. Je nach Lösung der Differenzengleichung ergibt sich der Entwicklungspfad als asymptotischer Verlauf oder als schwingender Verlauf (in etwa Kosinus-Kurven).