Dimensionslose Größe

In der Metrologie hat eine Größe die Dimension 1 (bzw. ist dimensionslos), wenn sie keiner Dimension des Größensystems zugeordnet ist. Dies zeigt sich z.B. daran, dass bei der Darstellung der entsprechenden Dimension als Potenzprodukt aus den Basisdimensionen jede Potenz null ist. Dass eine Größe keiner Dimension angehört, kann prinzipiell zwei Gründe haben: 1. sie ist der Quotient zweier Größen derselben Dimension oder 2. sie wurde noch nicht per Definition einer Dimension zugeordnet.

Beispiel: In einem Größensystem mit der Basisdimension Länge L und Masse M hat die Länge die Dimension L^1 * M^0 = L.

Eine Größe, die als Quotient aus zwei Größen der Dimension L definiert ist, hat dann immer die Dimension L / L = 1.
Auch eine Zeitspanne könnte dann die Dimension L^0 * M^0 = 1 haben. Durch eine Definition könnte sie jedoch dimensionsbehaftet gemacht werden, z.B. durch Zuordnung zur Dimension L^3 oder zu einer neu eingeführten Basisdimension Zeit T.

Beispiele für dimensionslose Größen sind

Ebene Winkel
Raumwinkel
Anzahlen
Wahrscheinlichkeiten
Quantenzahlen
dimensionslose Kennzahlen
Verhältniszahlen, d.h. Quotienten aus zwei dimensionsgleichen Größen (z. B. Wirkungsgrad)
logarithmierte Verhältniszahlen wie Bel, Neper, Phon.

Im SI ist 1971 die Basiseinheit Mol für die Stoffmenge (Dimension 1) eingeführt worden. Schon vor Etablierung des SI ist das Mol in der Chemie als Mengeneinheit angesehen worden.

Da man im Prinzip (siehe Relativitätstheorie) Zeit und Länge als ein und die selbe Größenart ansehen kann, könnte man auch die Geschwindigkeit als dimensionslose Verhältnisgröße betrachten. Jedoch geschieht das in den praktisch verwendeten Einheitensystemen wie z. B. SI oder cgs nicht: aus historischen Gründen, wegen der Anschaulichkeit und wegen der "Unhandlichkeit" des Umrechnungsfaktors Vakuum-Lichtgeschwindigkeit (1 s als Längeneinheit würde ca. 300.000 km entsprechen). In der theoretischen Physik wird aber die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit oft gleich 1 gesetzt (siehe Natürliche Einheiten).

Grundsätzlich hängt es von der für ein Größensystem gewählten Basis ab, welche abgeleiteten Größen welche Dimension haben, und somit auch, welche Größen die Dimension 1 haben. So sind in elektrotstatischen cgs-Systemen elektrische Kapazität und Länge von gleicher Dimension, der Quotient dieser Größen erhält dabei die Dimension 1.- Hinter der Wahl der Basis eines Größensystems steckt die Frage, wie man über die Proportionalitätskonstanten in der Schreibweise physikalischer Gesetze verfügt.

Ausschließlich die kohärenten dimensionslosen Maßeinheiten eines Einheitensystems – von denen es zu jeder Größenart nur eine gibt – nehmen beim Rechnen mit den anderen Einheiten des Systems auch den Wert 1 an. So kann innerhalb des SI-Einheitensystems 1 Radiant = 1 geschrieben werden, nicht aber, wenn mit der nicht kohärenten dimensionslosen Maßeinheit Grad gerechnet wird.

Wichtig sind die dimensionslosen Kennzahlen der Fluiddynamik und Thermohydraulik, anhand derer man das Systemverhalten vorhersagen kann bzw. die einen Vergleich zwischen verschiedenen Systemen (unterschiedlicher Abmessung) ermöglichen. Hierzu zählt zum Beispiel die Reynolds-Zahl, die als Kennzahl für die Strömungsqualität herangezogen wird (laminar/turbulent).

Ein Beispiel aus einem anderen Gebiet ist die Sommerfeld'sche Feinstrukturkonstante, die sich aus elektrischer Elementarladung, Planck'schem Wirkungsquantum und der Lichtgeschwindigkeit zusammensetzt. Ihr Wert beträgt etwa 1/137. Diese Konstante wurde von Arnold Sommerfeld 1916 eingeführt, um die durch Magnetfelder bedingte Feinstrukturaufspaltung von Spektrallinien berechnen zu können.

Dimensionslose physikalische Größen lassen sich oft, aber nicht immer, an der Endung "-zahl" erkennen. Im Gegensatz dazu wird die Endung Koeffizient teilweise als Synonym und teilweise als Gegenteil verwendet. Beispiele: