Distributivgesetz

Die Distributivgesetze (lat. distribuere „Verteilen“), auf Deutsch Verteilungsgesetze, sind mathematische Regeln und geben an, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen, zum Beispiel Multiplikation ( $\cdot$ ) und Addition (+), bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten. Man unterscheidet zwischen linksdistributiven und rechtsdistributiven Verknüpfungen:

$a \cdot \left( b + c \right) = a \cdot b + a \cdot c$ (linksdistributiv)

$\left( a + b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ (rechtsdistributiv)

Ist die „übergeordnete“ Verknüpfung, in diesem Fall die Multiplikation, kommutativ, so kann man aus der Linksdistributivität auch die Rechtsdistributivität folgern und umgekehrt. Die Distributivgesetze gehören zu den Axiomen für Ringe und Körper. Beispiele für Strukturen, in denen zwei Funktionen sich gegenseitig zueinander distributiv verhalten, sind Boolesche Algebren, wie die Algebra der Mengen oder die Schaltalgebra. Es gibt aber auch Kombinationen von Verknüpfungen, die sich nicht distributiv zueinander verhalten; zum Beispiel ist die Addition nicht distributiv über der Multiplikation.

In der Schulalgebra bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern oder Herausheben. Der umgekehrte Rechenschritt wird als Ausmultiplizieren bezeichnet. Das Distributivgesetz kann man auch folgendermaßen in Worte fassen: Eine Summe wird mit einer Summe multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe - unter Beachtung der Vorzeichen - multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele
- 1.1 Gebrauch im Alltagsleben
- 1.2 Matrizen
2 Siehe auch

Beispiele

Gebrauch im Alltagsleben

Jeder benutzt beim Kopfrechnen unbewusst das Distributivgesetz. Wenn man - beispielsweise - 6·16 im Kopf berechnet, multipliziert man 6·10 sowie 6·6 und addiert die Zwischenergebnisse.

Beispiele für reelle Zahlen

$6\cdot 16=6\cdot\left(10+6\right)\quad=\quad 6\cdot10+6\cdot6=60+36=96$

$5\cdot\left(7+3\right)=5\cdot10=50\quad=\quad 5\cdot7+5\cdot3=35+15=50$

Matrizen

Der ausgeklammerte Ausdruck

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 5 & 7 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \right)=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 19 & 10 \\ 1 & 14 & 9 \end{pmatrix}$

ist gleich dem ausmultiplizierten Ausdruck

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 5 & 7 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 11 & 6 \\ 5 & 7 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & 8 & 4 \\ -4 & 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 19 & 10 \\ 1 & 14 & 9 \end{pmatrix}$