Dodekaeder

Animation eines Dodekaeders

Ein Dodekaeder [ˌdodekaˈeːdər] (von griech. Zwölfflächner) ist ein Körper mit zwölf Flächen. In der Regel ist damit ein Platonischer Körper gemeint, nämlich das (regelmäßige) Pentagondodekaeder, ein Körper mit

12 (kongruenten) regelmäßigen Fünfecken als Flächen
20 Ecken, in denen jeweils drei dieser Fünfecke zusammentreffen
30 (gleich langen) Kanten, von denen jede die Seite von zwei Fünfecken ist.

Es gibt aber auch andere Dodekaeder von hoher Symmetrie.

Das regelmäßige Pentagondodekaeder

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Dodekaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

sechs fünfzählige Drehachsen (durch gegenüber liegende Flächenmittelpunkte)
zehn dreizählige Drehachsen (durch gegenüber liegende Ecken)
fünfzehn zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten)
fünfzehn Symmetrieebenen (durch einander gegenüber liegende – und parallele – Kanten)

und ist

inversionssymmetrisch (Punktspiegelung bezüglich des Dodekaedermittelpunkts)

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Dodekaeders – die Dodekaeder- oder Ikosaedergruppe – 120 Elemente und ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S₅. Die 60 orientierungserhaltenden Symmetrien entsprechen der alternierenden Gruppe A₅.

Als kubisches Kristall besitzt das regelmäßige Pentagondodekaeder außerdem:

fünf mal drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten)

Die Symmetrie des Dodekaeders ist (wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie) mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich. Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (vgl. jedoch Quasikristalle), auch wenn Dodekaeder als Kristallform vorkommen.

Zur Struktur

Dualität von Dodekaeder(rot) und Ikosaeder(grün)

Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder (und umgekehrt).

Mit Hilfe von Dodekaeder und Ikosaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Dodekaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

das abgestumpfte Dodekaeder mit 12 Zehnecken und 20 Dreiecken (durch Abstumpfung der Ecken eines Dodekaeders)
das Ikosidodekaeder mit 12 Fünfecken und 20 Dreiecken
das abgestumpfte Ikosaeder mit 12 Fünfecken und 20 Sechsecken als Durchschnitt eines Dodekaeders mit einem Ikosaeder (ähnlich einem Fußball; siehe auch archimedische Körper, Fulleren)
und das Rhombentriakontaeder mit 12 + 20 = 32 Ecken und 30 Rhomben als Flächen (es entsteht durch das Aufsetzen gerader Pyramiden auf das Dodekaeder, von denen je zwei Seitenflächen einander ergänzen).

Aus den Kanten des Dodekaeders kann man drei Paare gegenüber liegender (also insgesamt sechs) Kanten so auswählen, dass diese Paare drei kongruente, zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Die restlichen acht Ecken bilden dann die Ecken eines (dem Dodekaeder eingeschriebenen) Würfels. Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Dodekaeders zu genau einer solchen Position gehört, und jede Ecke Eckpunkt von zwei eingeschriebenen Würfeln ist. Die Symmetriegruppe des Dodekaeders bewirkt alle 5!=120 Permutationen dieser fünf Positionen bzw. Würfel.

Da die Kanten des eingeschriebenen Würfels Diagonalen der Fünfecke sind, entspricht das Verhältnis der Längen der Kanten des Dodekaeders und jener eines eingeschriebenen Würfels dem Goldenen Schnitt.

Formeln

Größen eines Dodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V \, = \, \frac{1}{4} \left( 15+7 \sqrt{5} \right) a^3 \approx 7{,}66 \, a^3$
Oberflächeninhalt	$A_O \, = \, 3 \sqrt{25+10\sqrt{5}} \, a^2 \approx 20{,}65 \, a^2$
Umkugelradius	$r_u \, = \, \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \sqrt{5} \right) \, a \approx 1{,}40 \, a$
Inkugelradius	$r_i \, = \, \frac{\sqrt{5}}{20} \sqrt{50 + 22 \sqrt{5}} \, a \approx 1{,}11 \, a$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	$\frac{V} {V_{UK}} = \frac{\sqrt{15}}{6\pi} \left( 1 + \sqrt{5} \right) \, \approx 0{,}66$
Flächen-Flächen-Winkel	$2 \arcsin \sqrt{ \frac {1} {2} + \frac {\sqrt{5}} {10} } \, \approx 116{,}57^\circ$
Flächen-Kanten-Winkel	$180^\circ-\arcsin \sqrt{ \frac {1} {2} + \frac {\sqrt{5}} {10} } \, \approx 121{,}72^\circ$

Anwendungen

Ein Dodekaeder als Spielwürfel

Einige geodätischen Kuppeln sind Polyeder, die vom Dodekaeder abgeleitet sind, indem die Fünfecke weiter in (gleichschenkelige) Dreiecke unterteilt werden.
Es gibt dodekaederförmige Spielwürfel.
In der Bauakustik werden dodekaederförmige Lautsprecher verwendet, um eine möglichst gute Kugelcharakteristik zu erhalten.
Der Verwendungszweck des römischen Pentagondodekaeders ist bis heute unklar.

Andere Dodekaeder

Andere regelmäßige Dodekaeder sind z.B.:

das Rhombendodekaeder besitzt 12 kongruente Rhomben als Flächen, 14 Ecken und 24 Kanten. Es bildet die typische Kristallform der Granate.
das Trigondodekaeder besitzt 12 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flächen, 8 Ecken und 18 Kanten.