Drehimpuls

Physikalische Größe
Name		Drehimpuls
Formelzeichen der Größe		L
Größen- und Einheitensystem	Einheit		Dimension
SI	kg·m²·s^-1·rad^-1		M·L²·T^-1·1^-1

Der Drehimpuls oder Drall ist eine physikalische Größe, welche Richtung und Geschwindigkeit einer Drehbewegung um einen Referenzpunkt beschreibt und im alltäglichen Sprachgebrauch mitunter Schwung genannt wird.

Der Drehimpuls eines Massenpunktes ist definiert als Kreuzprodukt zwischen Ortsvektor und Impuls:

$\mathbf{L} := \mathbf{x} \times \mathbf{p} = m(\mathbf{x} \times \mathbf{v})$

wobei $\mathbf{x}$ den Ort, $\mathbf{v}$ die Geschwindigkeit, $\mathbf{p}$ den Impuls und $m$ die Masse bezeichnet. In abgeschlossenen Systemen ist der Drehimpuls aufgrund der Isotropie des Raumes eine Erhaltungsgröße - siehe Impulserhaltungssatz.

Inhaltsverzeichnis

1 Anschauliche Beschreibung
2 Physikalische Beschreibung
- 2.1 Drehimpuls eines mechanischen Systems
- 2.2 Der Drehimpuls eines starren Körpers
3 Drehimpulserhaltung und Drehmoment
- 3.1 Folgerungen
- 3.2 Drehmoment
4 Einige Herleitungen
- 4.1 Drehimpulserhaltung im Zentralpotential
- 4.2 Drehimpuls des starren Körpers
5 Siehe auch

Anschauliche Beschreibung

Beziehung zwischen Kraft (F), Drehmoment (τ), Impuls (p), Drall (L) und Position (r)

Man kann sich den Drehimpuls als Pfeil vorstellen, dessen Richtung die Drehachse angibt und dessen Länge den Schwung der Drehung angibt: Je länger der Pfeil, desto mehr Schwung. Mehr Schwung kann dabei realisiert werden durch

eine größere Masse
eine größere Geschwindigkeit
einen größeren Abstand von der Drehachse.

Intuitiv ist man versucht, den Drehimpuls als Vektor aufzufassen, so wie Ort und Geschwindigkeit vektorielle Größen sind. Dies ist nicht ganz korrekt, was im nächsten Abschnitt näher erläutert wird.

Rechte-Hand-Regel

Die Skizze zeigt exemplarisch den Zusammenhang von Ort, Geschwindigkeit und Drehimpuls für die Kreisbewegung. Man beachte, dass der Drehimpuls senkrecht auf der Ebene, in welcher die Bewegung stattfindet, steht. Seine Länge ist in diesem Fall gleich dem Produkt aus Radius und Geschwindigkeit. Seine Richtung ist so zu wählen, dass er zusammen mit Ort und Geschwindigkeit eine sogenannte Rechtsschraube bildet. Man kann sich dies mit der Rechte-Hand-Regel veranschaulichen: Geben die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehung an, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses.

In vielen Fällen ist der Drehimpuls eines physikalischen Systems eine Erhaltungsgröße, er ändert sich also nicht. Dies hat viele weit reichende Konsequenzen, die weiter unten diskutiert werden.

Physikalische Beschreibung

Der Drehimpuls als Kreuzprodukt von Ort und Geschwindigkeit spielt eine wichtige Rolle bei der Beschreibung von Drehbewegungen. Er ist dort äquivalent zum Impuls bei Translationsbewegungen. Dort gilt nämlich:

$\dot{\mathbf{p}} = \mathbf{F}$ : Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der Kraft.

Für Drehbewegungen gilt die analoge Formel:

$\dot{\mathbf L} = \mathbf M$ : Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment.

Dabei ist das Drehmoment definiert als Kreuzprodukt von Ortsvektor und Kraft. Dies folgt, indem man explizit die Zeitableitung des Drehimpulses bestimmt:

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\mathbf{x} \times \mathbf{p}) = \dot{\mathbf{x}} \times \mathbf{p} + \mathbf{x} \times \dot{\mathbf{p}}$

Da Geschwindigkeit und Impuls parallel sind folgt mit den Eigenschaften des Kreuzproduktes und der Identität $\dot{\mathbf{p}} = \mathbf{F}$ die Formel für das Drehmoment.

Findet die Bewegung nur in einer bestimmten Ebene statt, so kann man in dieser Ebene Polarkoordinaten einführen. Dann ist der Drehimpuls beschrieben durch $L = mr^2\dot{\varphi}$ , wobei wieder $m$ die Teilchenmasse bezeichnet. $r$ und $\varphi$ sind die Polarkoordinaten.

Für die Beschreibung des Drehimpulses ist es wichtig, einen Referenzpunkt anzugeben, von dem aus der Ortsvektor $\mathbf{x}$ gemessen wird. Der Drehimpuls gibt dann an, mit welcher Stärke der Massenpunkt um diesen Referenzpunkt rotiert. Dabei kann sich der Massenpunkt auch auf einer Gerade bewegen, seine Bahn muss nicht zwangsläufig gekrümmt sein.

Aufgrund seiner Definition als Kreuzprodukt ist der Drehimpuls kein Vektor von der Art, wie Ort und Geschwindigkeit es sind (so genannte polare Vektoren). Es handelt sich viel mehr um einen axialen Vektor. Auch die Bezeichnung Pseudovektor ist gebräuchlich. Grob vereinfacht gesprochen zeichnet sich so ein Vektor dadurch aus, dass sich sein Vorzeichen bei einer Spiegelung aller Ortskoordinaten nicht ändert. Da bei einer solchen Spiegelung sowohl der Orts- als auch der Impulsvektor ihr Vorzeichen ändern, folgt diese Eigenschaft direkt aus der Definition des Drehimpulses.

Drehimpuls eines mechanischen Systems

Für ein mechanisches System mit $N$ Teilchen ist der Gesamtdrehimpuls definiert durch

$\mathbf{L} := \sum_{n=1}^N m_n \mathbf{x}_n \times \dot{\mathbf{x}}_n$

Ist das mechanische System abgeschlossen, ist der Gesamtdrehimpuls erhalten. In guter Näherung gilt dies beispielsweise für unser Sonnensystem, aber auch für ein Elektron, das an einem Atomkern gestreut wird.

Der Drehimpuls eines starren Körpers

Der Drehimpuls von starren Körpern wie Kreiseln oder Asteroiden wird durch deren Trägheitstensor bestimmt. Rotiert der starre Körper mit der Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ , so ist der Drehimpuls durch

$\mathbf{L} = \Theta \cdot \boldsymbol{\omega}$

gegeben, wobei $Θ$ den Trägheitstensor bezeichnet. Dies ist eine Matrix, die für die Drehbewegung dieselbe Bedeutung hat, wie die Masse für die Translationsbewegung. Erwähnenswert ist in diesem Zusammenhang, dass Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls im Allgemeinen nicht parallel zueinander sind.

Drehimpulserhaltung und Drehmoment

In einem abgeschlossenen System bleibt der Drehimpuls erhalten. Das bedeutet, dass sich weder sein Betrag, noch seine Richtung ändern. Mit dem Noether-Theorem der theoretischen Physik zeigt man, dass der Drehimpuls genau in solchen Systemen erhalten bleibt, die invariant unter Drehungen sind, also Systeme, deren physikalische Gesetzmäßigkeiten nicht von der speziellen Orientierung im Raum abhängen.

Würde man beispielsweise alle Planeten des Sonnensystems gleichermaßen ein Stück weiter um die Sonne drehen, würde sich an der grundsätzlichen Planetenbewegung nichts ändern. Man nennt solche Systeme auch isotrop.

Folgerungen

Direkt aus der Drehimpulserhaltung im Sonnensystem folgt das zweite Keplersche Gesetz, welches besagt, dass die Verbindungslinie zwischen einem Planeten und der Sonne in gleicher Zeit gleiche Flächen überstreicht.

Salto vorwärts

Ferner nutzt man im Sport, insbesondere beim Eiskunstlauf, beim Turmspringen oder beim Ballett aus, dass der Drehimpuls erhalten bleibt: Da der Drehimpuls sowohl von der Rotationsgeschwindigkeit als auch vom Abstand der rotierenden Masse zur Rotationsachse abhängt, muss eine Änderung der einen Größe durch eine entsprechende Änderung der anderen Größe kompensiert werden. So beobachtet man bei der Pirouette, dass die Drehung schneller wird, sobald man die Arme eng an den Körper legt: Das Anziehen der Arme würde den Drehimpuls verringern (Das Trägheitsmoment wird verringert, dadurch wird die Winkelgeschwindigkeit vergrößert = Erhaltung der Drehbewegung bzw. Geschwindigkeit). Da der Drehimpuls aber erhalten bleibt, muss dafür die Rotationsgeschwindigkeit zunehmen. Diese einfache Folgerung aus der Drehimpulserhaltung wird auch als Pirouetteneffekt bezeichnet.

Dasselbe Prinzip nutzen Turmspringer für Salti oder Katzen, um bei einem Sturz auf den Füßen zu landen.

Drehmoment

Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft an einem geeigneten Hebelpunkt angreifen. Solch eine Hebelkraft nennt man Drehmoment. Definiert ist das Drehmoment durch

$\mathbf{M} := \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ wobei $\mathbf{r}$ der Verbindungsvektor von Referenzpunkt und Angriffspunkt der Kraft ist und $\mathbf{F}$ die angreifende Kraft ist.

Einige Herleitungen

Drehimpulserhaltung im Zentralpotential

Ein Zentralpotential ist ein Potential der Form $V : = V (r)$ . Es hängt nur vom Abstand des Massenpunktes ab, nicht von einer bestimmten Orientierung. Die Kraft hat dann die Form $\mathbf{F} = \nabla V(r) = V'(r) \mathbf{x}$ wobei $\mathbf{x}$ der Ortsvektor des Massenpunktes ist. Dann gilt:

$\frac{d}{dt} \mathbf{L} = \frac{d}{dt} ( m\mathbf{x} \times \dot{\mathbf{x}}) = (m\dot{\mathbf{x}} \times \dot{\mathbf{x}}) + (\mathbf{x} \times m \ddot{\mathbf{x}})$

Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist Null, daher gilt weiter

$\frac{d}{dt} \mathbf{L} = \mathbf{x} \times \mathbf{F} = \mathbf{x} \times (V'(r)\, \mathbf{x}) = 0$

Drehimpuls des starren Körpers

Wir betrachten den inneren Drehimpuls eines starren Körpers und wählen den Schwerpunkt als Koordinatenursprung. Der gesamte Drehimpuls ist dann die Summe der Drehimpulse jedes einzelnen Massenpunktes des Körpers. Der Körper habe $N$ Massenpunkte mit den Massen $m n$ und den relativ zum Schwerpunkt gemessenen Koordinaten $\mathbf{r}_n$ . Dann lautet der Gesamtdrehimpuls

$\sum_{n=1}^N m_n \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}$ . Die Geschwindigkeit einer Rotationsbewegung ist gleich

$\dot{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ , also das Kreuzprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Ortsvektor. Eingesetzt erhalten wir also

$\sum_{n=1}^N m_n \mathbf{r} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})$

Gemäß der BAC-CAB-Formel für das doppelte Kreuzprodukt ist dies

$\sum_{n=1}^N m_n (\mathbf{r}^2 \boldsymbol{\omega} - \mathbf{r} \mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\omega})$ Das $\boldsymbol{\omega}$ lässt sich in beiden Fällen ausklammern und aus der Summe ziehen:

$\mathbf{L} = \left [ \sum_{n=1}^N m_n (\mathbf{r}^2 E - \mathbf{r} \mathbf{r}) \right] \cdot \boldsymbol{\omega}$

$E$ stellt die Einheitsmatrix dar und bei $\mathbf{r} \mathbf{r}$ handelt sich um ein dyadisches Produkt zwischen den beiden Ortsvektoren. In Komponentenschreibweise:

$L_a = \sum_{n=1}^N m_n (r^k r_k \delta_{ab} - r_a r_b) \omega^b$

Hierbei wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Die Summe ist gerade die Definition des Trägheitstensors $Θ$ , so dass der Drehimpuls letztendlich geschrieben werden kann als:

$\mathbf{L} = \Theta \boldsymbol{\omega}$ mit $\Theta = \sum_{i} m_{i} \begin{pmatrix} y_i^2+z_i^2 & -x_i y_i & -x_i z_i \\ -y_i x_i & x_i^2+z_i^2 & -y_i z_i \\ -z_i x_i & - z_i y_i & x_i^2+y_i^2 \\ \end{pmatrix}$

Für eine kontinuierliche Massenverteilung ersetze man die Summe durch ein Integral über das Volumen und die Massen $m n$ durch die Dichtefunktion $\varrho(\mathbf{r})$ .