Dreieck

Dieser Artikel behandelt den geometrischen Begriff Dreieck. Für weitere Bedeutungen siehe Dreieck (Begriffsklärung).

Ein Dreieck mit üblichen Bezeichnungen mit Teilen eines Ankreises

Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Es handelt sich innerhalb der Euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene, die von geraden Linien begrenzt wird. Seine Begrenzungslinien bezeichnet man als Seiten. In seinem Inneren spannen sich drei Winkel, die sogenannten Innenwinkel auf. Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet man als Eckpunkte des Dreiecks. Auch eine Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien ist möglich.

In der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, spielen Dreiecke die wesentliche Rolle. Siehe dazu insbesondere Dreiecksgeometrie.

Inhaltsverzeichnis

1 Das allgemeine (beliebige) Dreieck
2 Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie
- 2.1 Sphärische Dreiecke
- 2.2 Hyperbolische Dreiecke
3 Oft auftretende Dreiecksgrößen
4 Sätze rund um das Dreieck
5 Siehe auch
- 5.1 Geometrische Konstruktionen
6 Weblinks

Das allgemeine (beliebige) Dreieck

Definition und Eigenschaften

allgemeines Dreieck

Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Das Dreieck unterteilt die Ebene in zwei Bereiche, das Äußere und das Innere des Dreiecks. Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.

In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit $A$ , $B$ und $C$ bezeichnet, üblicherweise so wie abgebildet gegen den Uhrzeigersinn. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog $a$ , $b$ bzw. $c$ genannt. Damit liegt z. B. die Seite $a$ dem Eckpunkt $A$ gegenüber, verbindet also die Punkte $B$ und $C$ . Häufig wird mit $a$ , $b$ und $c$ auch stattdessen die Länge der jeweiligen Seite $B C$ , $C A$ oder $A B$ bezeichnet. Die Winkel werden $α$ , $β$ und $γ$ genannt; $α$ ist der Winkel am Eckpunkt $A$ , $β$ liegt am Eckpunkt $B$ und $γ$ liegt am Eckpunkt $C$

Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180°.
Die Summe der Außenwinkel beträgt entsprechend 360°. Dabei wird für jeden Eckpunkt nur ein Außenwinkel in die Summe aufgenommen. Da es sich bei den beiden Außenwinkeln eines Eckpunktes um Scheitelwinkel handelt, sind diese immer identisch groß. Die Summe aller Außenwinkel beträgt demnach genau genommen 2 · 360° = 720°.
Die Gesamtlänge zweier Seiten eines Dreiecks ist immer größer oder gleich der Länge der dritten Seite. Diese Beziehungen lassen sich in der so genannten Dreiecksungleichung ausdrücken.

Diese intuitiv einsichtigen Eigenschaften ebener Dreiecke folgen aus den Axiomen der Euklidischen Geometrie.

Berechnung eines beliebigen Dreiecks

Hat man von einem beliebigen Dreieck drei Angaben (Seiten S bzw. Winkel W), kann man die drei fehlenden Angaben berechnen. Die vier Lösungsfälle (Kongruenzsätze) werden symbolisch bezeichnet: SSS, SSW, SWS, WSW.

Der Fall SSW ist nur eindeutig, wenn der Winkel der größeren Seite gegenüber liegt. Wenn der Winkel der kleineren gegebenen Seite gegenüber liegt, kann es keine, eine oder zwei Lösungen geben.

Der Fall WWS oder SWW ist kein besonderer Fall, da bei zwei bekannten Winkeln der dritte errechenbar ist. Üblicherweise wird hierfür der Satz WSW eingesetzt.

Der Fall WWW ist bei ebenen Dreiecken nicht lösbar, weil es de facto nur zwei Angaben sind, denn über die Winkelsumme im Dreieck ( $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ ) lässt sich aus zwei bekannten Winkeln immer der andere bestimmen. Ohne gegebene Seite ist zwar die Form des Dreiecks gegeben, seine Größe bleibt aber offen.

Für Berechnungen ist neben der Winkelsumme der Sinussatz und der Kosinussatz am wichtigsten; zusätzlich kennt man den Projektionssatz sowie Tangenten- und Halbwinkelsätze.

Den Sinussatz gibt es in drei Varianten, von denen sich aber die dritte aus den beiden anderen ergibt:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2r;$

dabei bezeichnet $r$ den Umkreisradius.

Der Kosinussatz ist eine verallgemeinerte Form des Satz des Pythagoras, mit dem sich die Seiten eines beliebigen Dreiecks berechnen lassen:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$

Wenn nur die Seiten $a$ , $b$ und $c$ bekannt sind, ergibt sich die Lösung über den Arkuskosinus (arccos):

$\cos \alpha = \frac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{2bc}}$

$\alpha = \arccos \frac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{2bc}}$

$\cos \beta = \frac{{a^2 + c^2 - b^2 }}{{2ac}}$

$\beta = \arccos \frac{{a^2 + c^2 - b^2 }}{{2ac}}$

$\cos \gamma = \frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}}$

$\gamma = \arccos \frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}}$

Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, so beträgt der Winkel $\gamma = 90^\circ$ . Damit gilt: $\cos\gamma=\cos90^\circ=0$ . Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt somit die Formel

$c^2 = a^2 + b^2 \,$

Umfang:	$u = 8r\cdot \cos\frac{\alpha}{2}\cdot \cos\frac{\beta}{2}\cdot \cos \frac{\gamma}{2}$
Inkreisradius:	$\rho =4r\cdot \sin\frac{\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\beta}{2} \cdot \sin\frac{\gamma}{2}$
Umkreisradius:	$r= \frac{a}{2 \sin\alpha}= \frac{b}{2 \sin\beta}= \frac{c}{2 \sin\gamma}$
Höhenformeln:	$h_a = c\cdot\sin\beta = b\cdot \sin\gamma$
	$h_b = a\cdot \sin\gamma = c\cdot \sin\alpha$
	$h_c = b\cdot \sin\alpha = a\cdot \sin\beta$
Flächeninhalt:	$A = \frac{1}{2}\,a h_a = \frac{1}{2}\,b h_b = \frac{1}{2}\,c h_c$
	$16\,A^2 = \left(a^2+b^2+c^2\right)^2 - 2\,\left(a^4+b^4+c^4\right)$
	$16\,A^2 = \left(4 a^2 c^2\right) - \,\left(a^2+c^2-b^2\right)^2$
Flächenschwerpunkte:	$x_s = \frac{1}{3}\, ( x_A + x_B + x_C )$
Flächenschwerpunkte:	$y_s = \frac{1}{3}\, ( y_A + y_B + y_C )$

Das gleichseitige Dreieck

Eigenschaften

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß. Aus diesem Grund gehört das gleichseitige Dreieck auch zu den regelmäßigen Polygonen.
Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.
Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind.
Außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck.
Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Höhe zu einer Seite fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen. Entsprechendes gilt für den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks.

Formeln

Für ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $a$ gilt:

Fläche	$A = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}$
Höhe	$h =r_u+r_i= \frac{\sqrt{3}}{2}\,a$
Umkreisradius	$r_u = \frac{\sqrt{3}}{3}\,a=\frac{a}{\sqrt{3}}$
Inkreisradius	$r_i = \frac{\sqrt{3}}{6}\,a=\frac{a}{\sqrt{12}}\,$
Umfang	$u = 3 \cdot a$

Beweis siehe Weblinks unten.

Das gleichschenklige Dreieck

Links ein gleichschenkliges, rechts ein gleichseitiges Dreieck

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang und daher die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte als Basis.
Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüber liegen, heißen Basiswinkel.
Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte zur Basis, die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze, die Seitenhalbierende der Basis und die Höhe zur Basis identisch.
Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann.
Man kann die Höhe bestimmen, wenn man das Dreieck teilt und so den Satz des Pythagoras anwenden kann.

Das rechtwinklige Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt.
Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Satz des Pythagoras	$c 2 = a 2 + b 2$
Kathetensatz von Euklid	$a^2 = c \cdot p$
	$b^2 = c \cdot q$
	$c = p + q$
Höhensatz von Euklid	$h^2 = p \cdot q$

Bei Kenntnis zwei der Angaben ( $a$ , $b$ , $c$ , $p$ , $q$ und $h$ ) lassen sich die fehlenden vier anderen Werte aus den in der Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.

Die Längen der drei Seiten werden durch den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht: Das Quadrat der Länge der Hypotenuse (in der Grafik als $c$ bezeichnet) gleicht der Summe der Quadrate der Längen der Katheten ( $a$ und $b$ ).

In Bezug auf die spitzen Winkel des Dreiecks spricht man von der Ankathete des Winkels als die dem Winkel anliegende Kathete und von der Gegenkathete als die dem Winkel gegenüberliegende Kathete. Durch das Verhältnis zwischen Katheten und Hypotenuse lässt sich auch ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck eindeutig bestimmen.

Rechtwinkliges Dreieck mit den rechten Winkel im Punkt C

Funktion	Berechnung
Der Sinus des Winkels $α$ ist dabei als das Verhältnis zwischen der Gegenkathete (hier: $a$ ) und der Hypotenuse (hier: $c$ ) definiert.	$\sin \alpha = \frac{GK}{HYP} = \frac{a}{c}$
Der Kosinus des Winkels $α$ ist das Verhältnis zwischen der Ankathete (hier: $b$ ) und der Hypotenuse.	$\cos \alpha = \frac{AK}{HYP} = \frac{b}{c}$
Der Tangens ist durch das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete gegeben.	$\tan \alpha = \frac{GK}{AK} = \frac{a}{b}$
Der Kotangens ist das Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete, und ist damit der Kehrwert des Tangens.	$\cot \alpha = \frac{AK}{GK} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan \alpha}$
Der Sekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete, also der Kehrwert des Kosinus.	$\sec \alpha = \frac{c}{b} = \frac{1}{\cos \alpha}$
Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete, d. h. der Kehrwert des Sinus.	$\csc \alpha = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sin \alpha}$

Diese sechs Funktionen werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt; im schulischen Kanon werden diese jedoch meistens auf die ersten drei reduziert (diese sind auch die geläufigsten, die anderen sind seltener von Bedeutung).

Weiterführend gibt es noch den Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens, die beispielsweise bei Berechnungen mit komplexen Zahlen obligatorisch sind.

Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie

Sphärische Dreiecke

Hauptartikel: Kugeldreieck

Dreiecke auf der Kugel nennt man sphärisch, wobei die drei Seiten Teile von Großkreisen sind. Ihre Seitenlänge wird nicht in der Dimension einer Länge angegeben (Meter, cm usw.), sondern als zugehöriger Winkel im Kugelmittelpunkt.

Ein sphärisches Dreieck hat eine Winkelsumme größer als 180°, wobei der „Überschuss“ sphärischer Exzess heißt und in Formeln meist als $\varepsilon$ bezeichnet wird: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ + \varepsilon$ .

Der Exzess hängt direkt mit dem Flächeninhalt des Dreiecks zusammen ( $\varepsilon = F / R^2$ , bzw. in Grad $\varepsilon = 180^\circ F / R^2 \pi$ ), worin $R$ den Kugelradius und $π$ die Kreiszahl 3,14159… bedeutet.
Der maximale Exzess von 360° tritt beim einem „Dreieck“ mit drei auf 180° gestreckten Winkeln auf. Dieses zum Großkreis entartete Dreieck hat die Winkelsumme 540° (drei mal 180°) und ε = 540° − 180° = 360°. Sphärische Dreiecke können analog den ebenen Dreiecken berechnet werden, wofür es in der Geodäsie z. B. den sphärischen Sinussatz, den Cosinussatz, den Projektionssatz und verschiedene Halbwinkelsätze gibt – siehe Sphärische Trigonometrie.

Hyperbolische Dreiecke

Zur nichteuklidischen Geometrie – in der das Parallelenaxiom nicht gilt – zählen z. B. auch Dreiecke auf einer Sattelfläche. Während eine Kugel überall konvex gekrümmt ist, haben Sattel- und andere hyperbolische Flächen sowohl konvexe als auch konkave Krümmung (ihr Produkt, das Krümmungsmaß, ist negativ).

Entsprechend ist auch der Exzess negativ – d. h. die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Sattelfläche ist kleiner als 180°. Die Kongruenzsätze machen Aussagen über die Dreiecksgrößen (Seitenlänge, Winkel), die notwendig sind, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.

Oft auftretende Dreiecksgrößen

die Fläche
die Höhen
die Seitensymmetralen (Mittelsenkrechten)
die Winkelsymmetralen (Winkelhalbierenden)
die Seitenhalbierenden
der Inkreis
der Umkreis

Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise, die als ausgezeichnete oder merkwürdige Punkte des Dreiecks bekannt sind.