Elastizitätsmodul

Der Elastizitätsmodul (auch: Zugmodul oder Youngscher Modul, benannt nach dem englischen Arzt und Physiker Thomas Young) ist ein Materialkennwert aus der Werkstofftechnik, der den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers bei linear elastischem Verhalten beschreibt.

Der Elastizitätsmodul wird mit E-Modul oder als Formelzeichen mit E abgekürzt. Der Plural von Elastizitätsmodul ist Elastizitätsmoduln.

Der Elastizitätsmodul hat die Einheit einer Spannung. Anschaulich formuliert, ist der Elastizitätsmodul eines Materials diejenige Zugspannung, bei welcher sich ein Zugstab aus diesem Material in der Länge verdoppelt. (In der Realität tritt dieser Fall nie auf, eine Verdoppelung der Länge (Dehnung um 100%) ist bei keinem Material eine linear-elastische Deformation.)

Der Betrag des Elastizitätsmoduls ist um so größer, je mehr Widerstand ein Material seiner Verformung entgegensetzt. Ein Bauteil aus einem Material mit hohem Elastizitätsmodul (z. B. Stahl) ist also steif, ein Bauteil aus einem Material mit niedrigem Elastizitätsmodul (z. B. Gummi) ist nachgiebig.

Der Elastizitätsmodul ist die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz. Bei kristallinen Materialien ist der Elastizitätsmodul grundsätzlich richtungsabhängig. Sobald ein Werkstoff eine kristallographische Textur hat, ist der Elastizitätsmodul also anisotrop.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Beispiele
- 2.1 Anwendung
- 2.2 Typische Zahlenwerte
3 Häufige Missverständnisse
4 Siehe auch
5 Weblink

Definition

Schematisches Spannungs-Dehnungs-Diagramm: für kleine Dehnungen linear, Hookesche Gerade mit Steigung E

Der Elastizitätsmodul ist als Steigung des Graphen im Spannungs-Dehnungs-Diagramm bei einachsiger Belastung innerhalb des linearen Elastizitätsbereichs definiert. Dieser lineare Bereich wird auch als Hookesche Gerade bezeichnet.

$E=\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\epsilon}=\mathrm{const.}$

Dabei bezeichnet $σ$ die mechanische Spannung (Normalspannung, nicht Schubspannung) und $ε$ die Dehnung. Die Dehnung ist das Verhältnis von Längenänderung zur ursprünglichen Länge. Die Einheit des Elastizitätsmoduls ist die einer Spannung:

E in $\mathrm{\frac{N}{mm^2}}$ , in SI-Einheiten: E in $\mathrm{\frac{N}{m^2}}$ (Pascal)

Der Elastizitätsmodul wird als Materialkonstante bezeichnet, da mit ihm und den Querkontraktionszahlen das Elastizitätsgesetz aufgestellt wird. Der Elastizitätsmodul ist aber nicht bezüglich aller physikalischen Größen konstant. Er hängt von verschiedenen Umgebungsbedingungen wie z. B. Temperatur, Feuchte oder der Verformungsgeschwindigkeit ab.

Beispiele

Anwendung

Bei ideal linear elastischem Werkstoffgesetz (Proportionalitätsbereich im Spannungs-Dehnungs-Diagramm) ergibt sich die Federkonstante D eines geraden Stabes aus seiner Querschnittsfläche A, seiner Länge L und seinem rgE.

$D=\frac{F}{\Delta L}=\frac{E \cdot A}{L}$

Mit den Ausdrücken $\sigma=\frac{F}{A}$ für die Spannung und $\epsilon=\frac{\Delta L}{L}$ für die Dehnung erhält man aus obiger Gleichung das Hookesche Gesetz für den 1-achsigen Spannungszustand

$\sigma=E \cdot \epsilon$

und daraus den E-Modul

$E=\frac{\sigma}{\epsilon}$

Typische Zahlenwerte

Hinweise zur Einheitenumrechnung:

$1 \frac{1 \mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}= 1 \mathrm{MPa}$ (Ein Newton pro Quadratmilimeter ist ein Mega-Pascal)

$1 \frac{1 \mathrm{kN}}{\mathrm{mm}^2}= 1 \mathrm{GPa}$ (Ein Kilo-Newton pro Quadratmilimeter ist ein Giga-Pascal)

Metallische Werkstoffe bei 20 °C		Nichtmetallische Werkstoffe bei 20 °C
Material	E-Modul in kN/mm²	Material	E-Modul in kN/mm²
Ferritischer Stahl	210	Holz parallel zur Faser	7 bis 20
Austenitischer Stahl	195	Holz quer zur Faser	0,23 bis 1,33
Aluminium	70	CFK parallel zur Faser	150
Kupfer	120	CFK quer zur Faser	13
Messing	78 bis 123	Beton	22 bis 45
Grauguss	90 bis 155	Silikonkautschuk	0,01 bis 0,1
Sphäroguss	170 bis 185	Glas	50 bis 90
Titan	105	Glasfaser	55 bis 87
Magnesium	42	Knochen	18 bis 21
Blei	5	Epoxid	~2,5

Bei flächigen Bauteilen wird mit Flüssen an Stelle von Spannungen gerechnet $n_i=t\cdot\sigma_i$ . Daher setzt man hier einen dickenbezogenen Elastizitätsmodul ein, was einer Steifigkeit entspricht. Diese Größe hat die Einheit $\mathrm{\frac{N}{mm}}$ .

Häufige Missverständnisse

„Bezug E-Modul zu anderen Materialkonstanten?“

Häufig wird der Elastitzitätsmodul mit anderen Materialkennwerten in Verbindung gebracht. Dies ist jedoch nicht korrekt:

Der E-Modul hat keinen Bezug zur Härte des Materials
Der E-Modul hat keinen Bezug zur Streckgrenze $R e$ des Materials
Der E-Modul hat keinen Bezug zur Zugfestigkeit $R m$ des Materials

Ein einfacher Baustahl hat (fast) den gleichen E-Modul wie ein hochlegierter hochfester rostfreier Edelstahl!

„Spannungsreduktion durch besseres Material?“

Bei der Dimensionierung von Bauteilen herrscht oft die Meinung, dass bei einem „besseren“ Material die Spannungen kleiner werden müssten. Die Spannungen hängen aber nur von der Last und der Geometrie ab (Kraft pro Fläche), und nicht vom Material.

„E-Modul = Steifigkeit“

Die Steifigkeit eines Bauteils hängt ab vom verwendeten Material und der Verarbeitung, aber auch von der Geometrie des Bauteils. Für einen Zugstab ist die Steifigkeit das Produkt aus E-Modul und Querschnittsfläche, beim Biegebalken ist die Steifigkeit das Produkt aus E-Modul und Flächenträgheitsmoment. Für komplexe Geometrien lässt sich kein einfacher Ausdruck für die „Steifigkeit“ formulieren.

„sigma = E * epsilon“

Die Beziehung $\sigma = E \cdot \varepsilon$ gilt nur für den einachsigen Zug. Im allgemeinen 3D-Spannungszustand muss das Hookesche Gesetz in seiner allgemeinen Form angewandt werden.