Elektrische Leitfähigkeit

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Physikalische Größe
Name		elektrische Leitfähigkeit
Größenart		Tensor
Formelzeichen der Größe		$σ$
Größen- und Einheitensystem	Einheit		Dimension
SI	$\mathrm{S\,m^{-1}}$ $\mathrm{\Omega^{-1}\,m^{-1}}$		M⁻¹·L⁻³·T³·I²
Siehe auch: spezifischer Widerstand, elektrischer Leitwert

Die elektrische Leitfähigkeit (Formelzeichen $σ$ (griech. sigma), manchmal auch $κ$ oder $γ$ ) ist eine physikalische Größe, die die Fähigkeit eines Stoffes angibt, elektrischen Strom zu leiten, d.h. in seinem Inneren die Bewegung von Ladungsträgern zu ermöglichen. Sie ist definiert als die Proportionalitätskonstante zwischen der Stromdichte $\vec j$ und der elektrischen Feldstärke $\vec E$ in der allgemeinen Form des ohmschen Gesetzes:

$\vec j=\sigma \vec E$

Inhaltsverzeichnis

1 Leitfähigkeit als Tensor
2 Formelzeichen und Einheiten
3 Messung
4 Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Stoffe
5 Molare Leitfähigkeit von Elektrolytlösungen
6 Warum ist ein Stoff elektrisch leitfähig?
7 Ursache des elektrischen Widerstandes
8 Temperaturabhängigkeit
9 Beispiele
10 Quellen
11 Weblinks

Leitfähigkeit als Tensor

Im speziellen Fall eines homogenen (ortsunabhängigen), isotropen (richtungsunabhängigen) und linearen (feldgrößenunabhängigen) Mediums ist die elektrische Leitfähigkeit nur ein Skalar. Man nennt Skalare auch Tensoren 0. Stufe. Nur in diesem speziellen Fall erfolgt daher die Stromleitung im Leiter proportional und in gleicher Richtung wie das die Stromleitung verursachende elektrische Feld.

Im allgemeinen Fall, wenn eine der obigen Bedingungen nicht zutrifft, ist die elektrische Leitfähigkeit ein Tensor 2. Stufe (Dyade), also durch eine quadratische Matrix repräsentiert, welche die entsprechenden Abhängigkeiten repräsentiert.

Es ist zu beachten, dass diese Gleichung – sie zählt zu den drei fundamentalen Materialgleichungen – sich nicht aus den maxwellschen Gleichungen ableiten lässt. Die Maxwellschen Gleichungen mit den Kontinuitätsgesetzen und den Materialgleichungen stellen gemeinsam das Fundament der nicht relativistischen elektrodynamischen Feldtheorie dar.

Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes. Der Leitwert eines normiert dimensionierten Stückes eines leitfähigen Materials ist folglich der Kehrwert des spezifischen Widerstands $ρ$ (griech. rho) und wird als dessen spezifischer Leitwert $σ$ bezeichnet (Leitfähigkeit = spezifischer Leitwert). Beide sind über die Formel

$\sigma=\frac {1}{\rho}$

verknüpft.

Formelzeichen und Einheiten

Das Formelzeichen für die elektrische Leitfähigkeit ist der griechische Buchstabe $σ$ (sigma). Weitere häufig verwendete Formelzeichen für die elektrische Leitfähigkeit sind $κ$ (kappa) und $γ$ (gamma).

Die abgeleitete SI-Einheit der elektrischen Leitfähigkeit ist S/m (Siemens pro Meter). Sehr gebräuchlich sind zudem S/cm, m/Ω·mm² und S·m/mm², wobei die Zusammenhänge 1 S/cm = 100 S/m und 1 m/Ω·mm² = S·m/mm² = 10⁶ S/m gelten. Eine weitere besonders in den USA gebräuchliche Einheit ist % IACS. Hier wird die Leitfähigkeit als Prozentwert der Leitfähigkeit reinen geglühten Kupfers ausgedrückt (sogenannter International Annealed Copper Standard). 100 % IACS entsprechen 58 MS/m.

In der Dünnschichttechnik wird die elektrische Leitfähigkeit oft als Ω/ $\square$ , (sprich Ohm pro square) in Abhängigkeit von der Schichtdicke d angegeben:

$R_{\square}=\frac{1}{\sigma \cdot d}=\frac{\rho}{d}$ .

Das Formelzeichen $ρ$ ist der spezifische Widerstand.

Messung

Ein veraltetes Messgerät zur Messung der elektrischen Leitfähigkeit stammt von Jean-Jacques Rousseau und heißt Diagometer.

Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Stoffe

Nach der elektrischen Leitfähigkeit unterteilt man Stoffe in

Leiter (insbesondere alle Metalle)

Typische Werte (bei 25°C):

Typischerweise > 10⁶ S/m.

(Achtung, Werte sind teilweise widersprüchlich zu den Tabellenwerten unten!)

Silber: 62 · 10⁶ S/m (höchste elektrische Leitfähigkeit aller Metalle)
Kupfer: 58 · 10⁶ S/m
Gold: 45,2 · 10⁶ S/m
Aluminium: 37,7 · 10⁶ S/m
Messing: 15,5 · 10⁶ S/m
Eisen: 9,93 · 10⁶ S/m
Chrom: 7,74 · 10⁶ S/m
Edelstahl (1.4301): 1,36 · 10⁶ S/m

Isolatoren oder Nichtleiter (die meisten Nichtmetalle sowie Kohlenwasserstoffe und viele organische Verbindungen)

Typischerweise < 10^-8 S/m.

Halbleiter (beispielsweise Silizium, Germanium)

Bei Halbleitern hängt die Leitfähigkeit von Faktoren, wie Temperatur, Druck oder Belichtung ab. Die Leitfähigkeit liegt im Bereich zwischen Leitern und Isolatoren. Diese Einteilung stammt noch aus der Zeit, als man die Eigenschaften spezieller Halbleiter wie Germanium und Silizium noch nicht kannte. Bei diesen lässt sich die Leitfähigkeit gezielt durch Dotierung (Einlagerung von Fremdatomen) verändern. Diese Stoffgruppe ist vor allem deshalb interessant, weil sich damit spezielle Bauelemente der Elektronik wie z. B. Transistoren herstellen lassen.

Tellur: 200 S/m
Meerwasser: ~ 5 S/m
Leitungswasser: ~ 0,05 S/m
reines Wasser: 5 · 10^-6 S/m (wird oft auch bereits als Nichtleiter bezeichnet)
Silizium: 2,52 · 10^-4 S/m

Supraleiter (viele Metalle, verschiedene Legierungen, einige wenige Keramiken und manche Fullerene)

Unterhalb einer materialabhängigen Sprungtemperatur ist die Leitfähigkeit quasi „unendlich“, der elektrische Widerstand verschwindet vollständig.

Bei Elektrolytlösungen spricht man von einer elektrolytischen Leitfähigkeit. Hierbei bezieht man die spezifische Leitfähigkeit auf den Widerstand einer 1- Elektrolytlösung zwischen zwei Elektroden von einem Abstand l = 1 cm und einem Querschnitt von q = 1 cm² , früher bei 18 °C, nach DIN/E-Norm bei 25 °C.

Molare Leitfähigkeit von Elektrolytlösungen

Die molare Leitfähigkeit $Λ m$ ist die spezifische Leitfähigkeit eines Elektrolyten, bezogen auf seine Konzentration c. Sie lässt sich aus der spezifischen Leitfähigkeit $κ$ berechnen:

$\Lambda_m = \frac {\kappa} {c}$ .

Da hier die Leitfähigkeit der Lösung auf die Zahl der Ladungsträger pro Volumen normiert wird und diese linear mit der Konzentration ansteigt, würde man zunächst erwarten, dass die molare Leitfähigkeit eines Elektrolyten eine konzentrationsunabhängige Konstante ist. Tatsächlich nimmt aber die molare Leitfähigkeit aus verschiedenen Gründen, z. B. infolge einer Zunahme der elektrolytischen Dissoziation oder einer Abnahme der elektrischen Kräfte zwischen den Ionen, mit abnehmender Konzentration zu und nähert sich einem Grenzwert, der so genannten Grenzleitfähigkeit $\Lambda^0_m$ .

Eine empirische Beziehung der Konzentrationsabhängigkeit der molaren Leitfähigkeit starker Elektrolyte ist das nach Friedrich Wilhelm Kohlrausch benannte Kohlrauschsche Quadratwurzelgesetz, das später durch die Debye-Hückel-Theorie (Peter Debye, Erich Hückel, Lars Onsager) gestützt wurde:

$\Lambda_m =\Lambda^0_m - K \sqrt {c}$ .

Der Wert von K hängt dabei von der Identität und der Stöchiometrie des Elektrolyten ab.

Warum ist ein Stoff elektrisch leitfähig?

Die Leitfähigkeit eines Stoffes oder Stoffgemisches hängt von der Verfügbarkeit von beweglichen Ladungsträgern ab. Dies können locker gebundene Elektronen, wie beispielsweise in Metallen, aber auch in organischen Molekülen mit delokalisierten Elektronen (die häufig durch mesomere Grenzstrukturen beschrieben werden) oder Ionen sein.

Wässrige Lösungen zeichnen sich durch eine geringe Leitfähigkeit aus. Sie steigt, wenn dem Wasser Ionen, also Salze, Säuren oder Basen hinzugefügt werden. Dementsprechend hat Meerwasser eine höhere elektrische Leitfähigkeit als Süßwasser. Reines Wasser (destilliertes oder demineralisiertes) hat eine äußerst geringe Leitfähigkeit.

In Halbleitern nutzt man gezielte Verunreinigungen, um die Leitfähigkeit zu beeinflussen (Dotierung). Durch Elektronendonatoren werden sie n-dotiert, durch Elemente, die weniger Elektronen als das Trägermetall haben, p-dotiert. Durch die p-Dotierung entstehen Elektronenfehlstellen, auch Löcher genannt, die die Leitfähigkeit ebenso erhöhen wie überzählige Elektronen in n-dotierten Halbleitern.

Ein Modell zur Veranschaulichung und Erklärung der Leitfähigkeit eines Kristalls ist durch das Bändermodell gegeben.

Ursache des elektrischen Widerstandes

1900 formulierte Paul Drude ein nach ihm benanntes Modell, wonach der elektrische Widerstand durch Kollision der Leitungselektronen mit den als starr angenommenen Atomrümpfen des Metalls verursacht wird. Danach ist die Leitfähigkeit

$\sigma = \frac {n e^2 \tau}{m}$ .

Hier ist n die Elektronenkonzentration, e die Ladung und m die Masse eines Elektrons und $τ$ die mittlere Flugzeit des Elektrons zwischen zwei Stößen. Diese Modell veranschaulicht die elektrische Leitfähigkeit zwar recht gut, sagt aber manche experimentellen Ergebnisse schlicht falsch voraus. Ein Beispiel wäre die Tatsache, dass reine Metalle besser leiten als mit Fremdatomen verunreinigte. Heute nimmt man daher an, dass der elektrische Widerstand zum einen durch die Streuung der Elektronen an den schwingenden Atomrümpfen (den Phononen) und zum anderen durch Streuung der Elektronen an Störstellen (Fremdatome, Fehlstellen, etc.) im Kristall verursacht wird. Letztere ist temperaturunabhängig und wird auch als Restwiderstand bezeichnet. Wohingegen die Elektron-Phonon-Streuung proportional zur Temperatur ist. Für den spezifischen, elektrischen Widerstand ergibt sich also:

$\rho \propto \frac {1}{\tau_{\rm Phonon}} + \frac {1}{\tau_{\rm St\ddot{o}rstellen}}$

Wenn man in einem allgemeinen Festkörper die Beweglichkeit $μ$ der Ladungsträger berücksichtigt, ergibt sich:

$\sigma = e n \mu\,$ wobei n = Ladungsträgerdichte (Anzahl je Volumeneinheit).

Temperaturabhängigkeit

Damit lassen sich gut die Temperaturabhängigkeiten der Leitfähigkeit erklären:

In Metallen ist n konstant, aber die Beweglichkeit nimmt mit steigender Temperatur ab wegen zunehmender Stöße mit den Atomen bzw. wegen dadurch sinkendem $\tau\,$ . Also sinkt auch die Leitfähigkeit.
Beispiel: Eine elektrische Glühlampe ist im ausgeschalteten Zustand kalt und damit gut leitfähig. Im Augenblick des Einschaltens fließt zunächst ein hoher Einschaltstrom. Durch diesen wird die Wendel aber heiß, erhöht dadurch ihren Widerstand, so dass sich der Strom auf das Normalniveau senkt. Daher werden Glühlampen manchmal auch statt zur Lichterzeugung zur Strombegrenzung in elektronischen Schaltungen verwendet, z. B. in Lautsprecherverstärkern.
In Halbleitern nimmt die Beweglichkeit zwar aus demselben Grund ab, aber die Ladungsträgerdichte steigt überproportional (genauer: exponentiell) durch Anregung ins Leitungsband, so dass die Leitfähigkeit mit der Temperatur stark steigt.
Beispiel: Der Mikroprozessor in einem Computer ist aus Halbleitermaterial. Würde er im Betrieb zu heiß, würde seine Leitfähigkeit so groß werden, dass die Gefahr des Durchbrennens entsteht. Daher ist es so wichtig, für eine ausreichende Kühlung des Prozessors in jeder Betriebslage zu sorgen. - Eine praktische Anwendung der Temperaturabhängigkeit ist die Temperaturmessung mit Hilfe einer stromdurchflossenen Diode, ihr Durchgangswiderstand reagiert sehr empfindlich auf kleine Temperaturänderungen.

Beispiele

(Achtung, Werte sind teilweise widersprüchlich zu den Werten oben!)

Metalle	Spezifische Leitfähigkeit (in 10⁶ S/m)
Silber	61,7 (höchste elektrische Leitfähigkeit aller Metalle)
Kupfer	$\geq 58,0$ (bei 99,9 %Cu, $\geq 58,6$ bei 99,99 % Cu ^[1])
Gold	47,6
Aluminium	37,88
Wolfram	18,2
Platin	10,2
Eisen	10,0
Blei	4,8