Ellipse

Dieser Artikel befasst sich mit der Ellipse in der Mathematik, andere Bedeutungen unter Ellipse (Begriffsklärung).

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Ellipse eine spezielle geschlossene Kurve von ovaler Form, die wie die Parabel und die Hyperbel zu den Kegelschnitten gehört.

Erweitert man die Ellipsengleichung für den Raum, so entsteht ein Ellipsoid. Hat dieses zwei gleiche Halbachsen, so heißt es Rotationsellipsoid, da es in diesem Fall auch durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen beschrieben werden kann. Hierbei sind alle Schnittflächen senkrecht zu dieser Rotationsachse Kreise.

Definitionen und Begriffe

Parameter einer Ellipse

Ellipse als Punktmenge

Eine Ellipse ist definiert als die Menge aller Punkte P der Zeichenebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten F₁ und F₂ gleich 2a ist (in nebenstehender Abbildung blau eingezeichnet). Die Punkte F₁ und F₂ heißen Brennpunkte.

$E = \{P \mid \left|\overline{F_1 P}\right| + \left|\overline{F_2 P}\right| = 2a\}$

Gl. 1

Scheitel und Achsen

Die Punkte S₁ und S₂ mit größtem Abstand zum Mittelpunkt M heißen Hauptscheitel, ihre Verbindungslinie S₁ S₂ heißt 'Hauptachse' bestehend aus den zwei großen Halbachsen M S₁ und M S₂.

Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln S₃ und S₄, welche die Nebenachse bestehend aus den kleinen Halbachsen M S₃ und M S₄ definieren. Die Länge der kleinen Halbachsen wird mit b bezeichnet:

$\left|\overline{M S_3}\right| = \left|\overline{M S_4}\right| = b$

Gl. 2

Haupt- und Nebenachse sind rechtwinklig zueinander.

Exzentrizität

Hauptartikel: Exzentrizität (Mathematik)

Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt lineare Exzentrizität und wird mit $e$ bezeichnet. Die lineare Exzentrizität berechnet sich über das rechtwinklige Dreieck ∆M F₁ S₃ mit dem Satz des Pythagoras:

$e = \sqrt{a^2-b^2}$

Gl. 3

Neben der linearen Exzentrizität e wird oft auch die dimensionslose numerische Exzentrizität ε ∈ [ 0,1 [ , verwendet:

$\varepsilon = \frac{e}{a} = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$

Gl. 4

Ist ε = 0, so ist die Ellipse ein Kreis. Liegt sie nahe bei 1, so handelt es sich um eine langgestreckte, schmale Ellipse.

Spezielle Abstände

Die Definitionsgleichung zusammen mit Symmetrieüberlegungen ergeben, dass der Abstand der Nebenscheitel S₃ und S₄ von den Brennpunkten F₁ und F₂ gerade gleich der Größe a aus der Definition ist (in nebenstehender Abbildung grün eingezeichnet):

Gl. 5

Die großen Halbachsen M S₁ und M S₂ haben ebenfalls gerade die Länge a. Diese Beziehung ergibt sich aus der Anwendung der Definitionsgleichung auf einen Hauptscheitel:

$\left|F_1 S_1\right| + \left|F_2 S_1\right| = 2a$

Gl. 6

$\left|M S_1\right| - e + \left|F_2 S_1\right| = 2a$

Gl. 7

$\left|M S_1\right| - e + e + \left|M S_1\right| = 2a$

Gl. 8

$\left|M S_1\right| = a$

Gl. 9

Halbparameter

Die halbe Länge einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) p der Ellipse:

$p = \frac{b^2}{a}$

Gl. 10

Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die perspektive Affinität (vgl. dazu den Artikel Affinität (Mathematik)). Hier ist die Ellipse als perspektiv affines Bild eines Kreises definiert. Dabei wird jeder Kreisdurchmesser auf einen Ellipsendurchmesser abgebildet.

Hauptlage und analytische Definition

Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammenfällt, nennt man Ellipse in der 1. Hauptlage. Es gilt folgende Gleichung für die Koordinaten der Ellipsenpunkte einer solchen Ellipse:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Gl. 11

Eigenschaften

Brennpunkteigenschaft

Hauptartikel: Brennpunkt (Ellipse)

Brennpunktseigenschaft

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl, oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet gleich dem Ausfallswinkel der Tangente mit dem anderen Brennstrahl. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, würde demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.

Da der Weg von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zweier zusammengehöriger Brennstrahlen) immer gleich lang ist, wird auch Schall nicht nur „verstärkt“ (siehe unten) von einem zum anderen Brennpunkt übertragen, sondern kommt sogar zeit- und phasengleich (also verständlich und nicht interferierend) dort an.

Zwei Ellipsen mit übereinstimmenden Brennpunkten nennt man konfokal.

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Das gleiche Prinzip wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet.

Direktrix

Ellipse mit Leitlinien

Eine Parallele zur Nebenachse im Abstand a²/e bezeichnet man als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt P der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix d auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrität:

$\mathrm{\left|P F_1\right| : \left|P d_1\right| = \left|P F_2\right| : \left|P d_2\right| = \varepsilon}$

Gl. 12

Ein gegebener Brennpunkt F, eine Gerade d (die Direktrix) und eine Zahl 0 ≤ ε < 1 definieren umgekehrt eine Ellipse E als Menge aller Punkte P für die das Verhältnis ihres Abstandes | FP | vom Brennpunkt zu ihrem Abstand | Fd | von der Geraden d gleich ε ist.

Konjugierte Durchmesser

Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern

Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) PP' alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser Q Q'. Man nennt Q Q' den zu P P' konjugierten Durchmesser. Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser. In der Zeichnung stimmt also der zu Q Q' konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser P P' überein.

Konstruktion

Näherung über Krümmungskreise

Ellipsen lassen sich (mit Zirkel und Lineal) nur punktweise konstruieren, d.h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise an den Scheitelpunkten und eines Kurvenlineals lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. Um aber zum Beispiel eine Gerade exakt mit einer Ellipse zu schneiden, braucht man besondere Konstruktionstechniken, welche die Eigenschaften der Ellipse ausnutzen.

Gärtnerkonstruktion

Eine einfache Möglichkeit, die Ellipse genau zu zeichnen, ist die sogenannte Gärtnerkonstruktion. Sie benutzt direkt die Ellipsendefinition: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen, schlägt man zwei Pflöcke in die Brennpunkte und befestigt daran die Enden einer Schnur mit der Länge 2a. Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Da diese Methode neben Zirkel und Lineal zusätzliche Hilfsmittel benötigt, handelt es sich nicht um eine Konstruktion der klassischen Geometrie.

Ellipsenzirkel

Ellipsenzirkel nach Frans van Schoten aus dem 17. Jahrhundert

Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt E zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt.

Konstruktion nach de la Hire

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach de la Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte bekannt sein müssen.

Rytzsche Achsenkonstruktion

Sind zwei konjugierte Durchmesser gegeben, können mit Hilfe der Rytzschen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und die Achsen) bestimmt werden.

Auf Basis eines Kreises

Besonders in der Computergrafik lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht bzw. gedehnt, in anderen Worten anders skaliert wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch Scherung erhalten, s. a. Bresenham-Algorithmus.

Die Ellipse als Kegelschnitt

Ellipse als Kegelschnitt

Die Ellipse ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.

Beispiele

Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse. Präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.

In der Astronomie kommen Ellipsen häufig als Bahnen von Himmelskörpern vor. Nach dem ersten keplerschen Gesetz bewegt sich jeder Planet auf einer Ellipse um die Sonne, wobei diese in einem der beiden Brennpunkte steht. Entsprechendes gilt für die Bahnen von wiederkehrenden (periodischen) Kometen, Planetenmonden oder Doppelsternen. Allgemein ergeben sich bei jedem Zweikörperproblem der Gravitationskraft zueinander ähnliche Ellipsenbahnen, wenn die Energie nicht ausreicht, die Entfernung der beteiligten Himmelskörper unendlich groß werden zu lassen.

Für jeden zwei- oder dreidimensionalen harmonischen Oszillator erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn. So schwingt etwa der Pendelkörper eines Fadenpendels näherungsweise auf einer elliptischen Bahn, falls die Bewegung nicht auf eine Ebene beschränkt ist.

Formelsammlung

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Gl. 20

Mittelpunkt (x₀|y₀), Hauptachse parallel zur x-Achse:

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$

Gl. 20a

Herleitung der Ellipsengleichung:

Es gelten die Beziehungen:

r 1 + r 2 = 2 a

Gl. 21

(Definition der Ellipse | r₁ und r₂ sind jeweils die Strecken r₁ = F₁P bzw. r₂ = F₂P)

e 2 = a 2 - b 2

Gl. 22

(wenn x = 0 entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Seiten r₁ und r₂, die gleich lang sind)

Man geht vom Mittelpunkt aus:

$y^2 = r_1^2 - (e - x)^2$

Gl. 23.1

$y^2 = r_2^2 - (e + x)^2$

Gl. 23.2

Gl. 21 nach r₂ umstellen:

{{Gl2| $r 2 = 2 a - r 1$ | |70%}

$r_2^2 = 4a^2 - 4ar_1 + r_1^2$

Gl. 24

Gl. 24 eingesetzt in Gl. 23.1:

$y^2 = 4a^2 - 4ar_1 + r_1^2 - (e - x)^2$

Gl. 24.2

Gl. 24.2 gleichgesetzt mit Gl. 23.2:

$r_1^2 - (e + x)^2 = 4a^2 - 4ar_1 + r_1^2 - (e - x)^2$

$\mid - r_1^2$

- e 2 - 2 e x - x 2 = 4 a 2 - 4 a r 1 - e 2 + 2 e x - x 2

$\mid + e^2 + x^2$

4 a 2 - 4 a r 1 + 4 e x = 0

Gl. 25

Gl. 25 umstellen nach r₁:

$\frac{a^2 + ex}{a} = r_1$

Gl. 26

Gl. 26 eingesetzt in Gl. 23.1:

$y^2 = \left(\frac{a^2 + ex}{a} \right)^2 - (e + x)^2$

$y^2 = a^2 + 2ex + \frac{e^2x^2}{a^2} - e^2 - 2ex - x^2$

Gl. 27

(22) in (27) eingesetzt:

$y^2 = a^2 + \frac{(a^2 - b^2)x^2}{a^2} - a^2 + b^2 - x^2$

$\mid a^2 - a^2 = 0$

$y^2 = \frac{a^2x^2-x^2b^2}{a^2} + b^2 - x^2$

$y^2 = x^2 - \frac{x^2b^2}{a^2} + b^2 - x^2$

Gl. 28

$a^2y^2 = a^2b^2 - x^2b^2 \quad$

$\mid / (a^2 b^2)$

$\frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2}$

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

q.e.d.

Ellipsengleichung (Parameterform)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse:

$\left\{\begin{matrix} x = a \ \cos t \\ y = b \ \sin t \end{matrix}\right. \ , \ 0 \le t \le 2\pi$

Gl. 31

Mittelpunkt (x₀|y₀), Hauptachse parallel zur x-Achse:

$\left\{\begin{matrix} x = x_0 + a \ \cos t \\ y = y_0 + b \ \sin t \end{matrix}\right. \ , \ 0 \le t \le 2\pi$

Gl. 32

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten)

Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r = \frac{b}{\sqrt{1 - \varepsilon^2 \cos^2 \varphi}}$

Gl. 33

Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r = \frac{p}{1 + \varepsilon \cos \varphi}$

Gl. 34

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r = \frac{p}{1 - \varepsilon \cos \varphi}$

Gl. 34a

Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt (x_B|y_B)

$\frac{x_B x}{a^2} + \frac{y_B y}{b^2} = 1$

Gl. 35

Mittelpunkt (x₀|y₀), Hauptachse parallel zur x-Achse, Berührpunkt (x_B|y_B)

$\frac{(x_B - x_0) (x - x_0)}{a^2} + \frac{(y_B - y_0) (y - y_0)}{b^2} = 1$

Gl. 36

Winkel der Ellipsentangente

Die Winkel der Ellipsentangente

In der nebenstehenden Grafik gilt das Winkelverhältnis

$\varphi = \arctan \left( (1 - \varepsilon^2 ) \tan(\beta)\right)$

Gl. 37

und nachdem man die Formel für ε eingesetzt hat:

$\varphi = \arctan \left(\frac {b^2}{a^2} \tan(\beta)\right)$

Gl. 38

Herleitung

Die Herleitung des Winkelverhältnisses

Das Argument läuft über eine affine Transformation in einen Kreis und wieder zurück.

Der Punkt P_e der Ellipse ist das affine Bild des entsprechenden Punktes P_k auf dem Hauptkreis, der das Urbild der Ellipse unter einer affinen Transformation ist. Die Koordinaten von P_k sind

(a cos(t), a sin(t))

Gl. 39

für einen noch zu bestimmenden Winkel t, wobei a der Kreisradius ist. Die Koordinaten der Ellipsenpunkte gehen durch eine Stauchung ihrer y-Koordinaten mit dem Faktor b/a aus den korrespondierenden Kreis-Punkten hervor. Daher hat P_e die Koordinaten:

$\left(a \cos(t), a\,\frac{b}{a}\,\sin(t) \right) = \Big(a \cos(t), b \sin(t) \Big)$

Gl. 40

Dies ist auch die Koordinatenform der Ellipse.

Durch Ableitung erhält man den Richtungsvektor ihrer Tangente t_e im Punkt P_e:

$\Big(-a\,\sin(t), b\,\cos(t)\Big)$

Gl. 41

Der Richtungsvektor der Normalen n_e ergibt sich durch Vertauschen der Koordinaten und Invertieren einer Koordinate zu:

$\Big(b\,\cos(t), a\,\sin(t)\Big)$

Gl. 42

Daraus ergibt sich die Steigung der Normalen zu

$\frac{a \, \sin(t)}{b \, \cos(t)}$

Gl. 43

und damit ihr gesuchter Steigungswinkel β zu

$\beta = \arctan\left(\frac{a \,\sin(t) }{ b \,\cos(t)}\right)$

Gl. 44

Dieser Winkel ist bisher ausgedrückt in Abhängigkeit des Winkels t und muss noch in Abhängigkeit von φ umgeschrieben werden.

In obiger Abbildung sieht man, dass

$a \,\cos(t) = x = r' \cos(\varphi)$

Gl. 45

und

$a \sin(t) = y_k = \frac{a}{b} y_e = \frac{a}{b} r' \sin(\varphi)$

Gl. 46

Dies eingesetzt in die Gleichung für β ergibt:

$\beta = \arctan\left(\frac{a \sin(t)}{b \cos(t)}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{a}{b} r' \sin(\varphi) }{ b \frac{r' }{ a} \cos(\varphi)}\right)$

Gl. 47

Durch Zusammenfassen der Brüche, das Wegfallen von r' und das Ersetzen der sin / cos - Funktion durch tan erhält man schlussendlich die gewünschte Gleichung zum Winkelverhältnis:

$\beta = \arctan\left(\frac{a^2}{b^2} \tan(\varphi)\right)$

Gl. 48

Durch Auflösen nach φ ergibt sich das oben angeführte Winkelverhältnis

$\underline{\underline {\varphi = \arctan \left(\frac{b^2}{a^2} \tan(\beta)\right)}}$

Gl. 49

Weiters kann man auch das Winkelverhältnis der Ellipsentangente zur Tangente des Hauptachsenkreises ableiten. Indem die Formeln...

$\tan(\varphi) = \frac{y_e}{x} ;\; \tan(t) = \frac{y_k}{x}$

Gl. 50

nach x auflöst und gleichsetzt und weiters

$y_k= \frac{a}{b} y_e$

Gl. 51

einsetzt, erhält man das Winkelverhältnis:

$\underline{\underline {\varphi = \arctan\left( \frac{b}{a} \tan(t) \right)}}$

Gl. 52

Normalengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt (x_B|y_B)

$\left( 1-{\frac {y}{y_B}} \right) \frac {b^2}{a^2}+{\frac {x}{x_B}}=1$

Gl. 53

Krümmungsradien

Krümmungsradius in einem der beiden Hauptscheitel:

$r_H = \frac{b^2}{a}$

Gl. 54

Krümmungsradius in einem der beiden Nebenscheitel:

$r_N = \frac{a^2}{b}$

Gl. 55

Weitere Formeln

Flächeninhalt

Mit den Halbachsen a und b:

$A=\pi \; a \; b = \pi \; a^2 \; \sqrt{1-\varepsilon^2}$

Gl. 61

In Polarkoordinaten lässt sich auch der Flächeninhalt als Funktion des (Polar)Winkels darstellen: (Polarkoordinaten: Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach recht; das heißt erste Formel in Abschnitt 6):

$dA=\frac{\sqrt{1-\kappa^2}}{2}dt$

Gl. 62

Umfang

Diagramm zur Berechnung des Ellipsenumfangs

Der Umfang kann nicht analytisch berechnet werden. Er ist nur als Integral darstellbar:

$U = 4a\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\cos t)^2}} \ \mathrm dt=4a \; E(\varepsilon)$

Gl. 71

mit

$\varepsilon= \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$

Gl. 4

E(ε) heißt elliptisches Integral. Dieses Integral lässt sich nicht in einer geschlossenen integralfreien Form schreiben. Es gibt aber die Reihenentwicklung:

$U = 2 a \pi \left( 1 - \sum_{i=1}^\infty \frac{(2i)!^2}{(2^i \cdot i!)^4 } \cdot \frac{\epsilon^{2i}}{2i-1} \right)$

Gl. 72

$U = 2 a \pi \left( 1 - \sum_{i=1}^\infty \left( \prod_{k=1}^i \frac{2i-1}{2i} \right)^2 \cdot \frac{\epsilon^{2i}}{2i-1} \right)$

Gl. 73

$U=2a \pi \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \varepsilon^2 - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{\varepsilon^4}{3} - \dots - \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n}\right)^2 \frac{\varepsilon^{2n}}{2n-1} - \dots \right]$

Gl. 74

und die Näherung

$U \approx \pi (a+b) \left(1+ \frac{3\lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}} \right)$

Gl. 75

mit

$\quad \lambda = \frac{a-b}{a+b}\,$

Gl. 76

relativer Fehler:

$\approx \frac{3\varepsilon^{20}}{2^{36}}$

Gl. 77

oder mit ε statt b:

$U \approx a \; \pi \; (1 + \omega) \left(1+ \frac{3\lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}} \right)\quad$

Gl. 76

mit

$\quad \lambda = \frac{1-\omega}{1+\omega}\quad$

und

$\quad \omega = \sqrt{1-\varepsilon^2}$

Mit Hilfe des nebenstehenden Diagramms kann bei gegebener Exzentrizität ε und gr. Halbachse a der Koeffizient k = E(ε 2*π) für die Formel U = k * a abgelesen werden.

Die Gl. 76 ist in einem weiten ε-Bereich , von ε = 0 bis ca. ε = 0,9, sehr genau. Der rel. Fehler nimmt danach mit zunehmendem ε stärker zu und beträgt:

Bereich	rel. Fehler
0,0000 ≤ ε < 0,8820	<10^-9
0,8820 < ε < 0,9242	< 10^-8
0,9242 < ε < 0,9577	< 10^-7
0,9577 < ε < 0,9812	< 10^-6
0,9812 < ε < 0,9944	< 10^-5
0,9944 < ε < 0,9995	< 10^-4
0,9995 < ε < 1,0000	< 0,000403