Euklidischer Abstand

Der euklidische Abstand ist eine Metrik.

Euklidischer Raum

Im dreidimensionalen Raum stimmt der euklidische Abstand mit dem anschaulichen Abstand überein. Im allgemeineren Fall des n-dimensionalen euklidischen Raumes ist er für zwei Punkte oder Vektoren definiert durch die euklidische Norm des Differenzvektors zwischen den beiden Punkten. Sind die Punkte

x und y gegeben durch die Koordinaten $x=(x_1, \ldots, x_n)$ und $y=(y_1, \ldots, y_n)$ , so gilt

$d(x,y) = |x - y| = \|x-y\|_2 = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^2 + \cdots + (x_{n} - y_{n})^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$

Da der euklidische Abstand von einer Norm herrührt, gilt stets, dass der Abstand translationsinvariant ist.

Für einen beliebigen Vektor gilt die Dreiecksungleichung. Neben dem euklidischen Abstand gibt es eine Reihe weiterer Abstandsmaße.

In der Statistik ist der euklidische Abstand ein Spezialfall des gewichteten euklidischen Abstands und sein Quadrat ein Spezialfall des Mahalanobis-Abstands. Ein bekannter Spezialfall (für n=2) der Berechnung eines euklidischen Abstandes ist der Satz des Pythagoras.

Spezielle Relativitätstheorie

In der speziellen Relativitätstheorie ist der euklidische Abstand ein Distanzmaß^[1] für den vierdimensionalen, raumzeitlichen Abstand zwischen zwei Ereignissen. Sind diese Ereignisse durch die Ortskoordinaten $x i$ , $y i$ , $z i$ und die Zeitkoordinaten $t i$ (mit $i = 1,2$ ) gegeben, so ist der euklidische Abstand $d$ definiert durch