Eulerscher Polyedersatz

Das konvexe Ikosaeder erfüllt den eulerschen Polyedersatz.

Ein konkaves Polyeder mit 13 Ecken, 36 Kanten und 32 Flächen, für das E + F − K = 2 nicht gilt.

Der eulersche Polyedersatz, benannt nach Leonhard Euler, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von konvexen Polyedern und verallgemeinerter von planaren Graphen.

Allgemein

Der Satz besagt: Seien E die Anzahl der Ecken, F die Anzahl der Flächen und K die Anzahl der Kanten eines konvexen Polyeders, dann gilt:

E + F - K = 2

In Worten: Anzahl der Ecken plus Anzahl der Flächen minus Anzahl der Kanten gleich zwei.

Beispielhaft sind in der folgenden Tabelle die fünf platonischen Körper mit den zugehörigen Werten für E, F und K aufgeführt. Der eulersche Polyedersatz gilt aber nicht nur für regelmäßige, sondern für alle konvexen Polyeder. Aus dem Satz lässt sich herleiten, dass es nicht mehr als 5 platonische Körper geben kann.

Polyeder	E	F	K	$E + F - K$
Tetraeder	4	4	6	2
Würfel	8	6	12	2
Oktaeder	6	8	12	2
Dodekaeder	20	12	30	2
Ikosaeder	12	20	30	2

In der französischen Literatur wird der Satz nach Descartes und Euler benannt.

Verallgemeinerung auf planare Graphen

Ein planarer Graph, dem kein Polyeder zugrunde liegt.

Vom Polyeder zum planaren Graph

Hat ein Polyeder ein zusammenhängendes Inneres ohne Löcher, kann die Beziehung seiner Flächen, Kanten und Ecken auch als planarer Graph (ein ebenes, zusammenhängendes Netz, dessen Kanten einander nicht schneiden) dargestellt werden.

Dies kann man sich wiefolgt veranschaulichen: Entfernt man eine Fläche des Polyeders und zieht die angrenzenden Kanten auseinander, kann man das Netz des Polyeders auf eine Ebene projizieren und in einen planaren Graphen überführen. Dabei bleiben nicht unbedingt alle Regelmäßigkeiten des Polyeders erhalten – die entstehenden Flächen brauchen noch nicht einmal Vielecke zu sein –, die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen (die Außenfläche mitgezählt) sowie die Struktur des Netzes bleiben aber erhalten.

Der eulersche Polyedersatz für planare Graphen

Für planare Graphen kann eine verallgemeinerte Version des eulerschen Polyedersatzes formuliert werden: Ist V die Anzahl der Knoten, E die Anzahl der Kanten und F die Anzahl der Flächen (Gebiete) eines zusammenhängenden planaren Graphen, dann gilt:

V + F - E = 2

Diese Formulierung erweitert den Gültigkeitsbereich des Satzes um eine Vielzahl nicht-konvexer Polyeder, sowie solche planaren Graphen, denen überhaupt keine Polyeder zugrunde liegen.

In den meisten Beweisen wird die Formel zuerst für planare Graphen bewiesen und daraus der Satz für Polyeder als Spezialfall gefolgert.

Die Euler-Charakteristik

Eine weitreichendere Verallgemeinerung des Konzepts findet sich in der Euler-Charakteristik einer Fläche. Aus dieser Sichtweise ist die Konvexität des Polyeders lediglich eine (starke) hinreichende Voraussetzung, um zu gewährleisten, dass die Oberfläche des Polyeders homöomorph zur 2-Sphäre ist.

Ein klassischer Beweis

Der einfachste Graph	Entstehung des Würfelnetzes
Hinzufügen einer Ecke mit Kante	Hinzufügen einer Kante

Dieser Beweis zeigt mit struktureller Induktion die Gültigkeit des Satzes für planare Graphen.

Der einfachste planare Graph besteht nur aus einer Ecke. Es gibt eine Fläche (die Außenfläche) und keine Kanten. Es gilt also E + F − K = 1 + 1 − 0 = 2. Aus diesem einfachsten Graphen können alle weiteren ausschließlich durch die beiden folgenden Operationen konstruiert werden, welche die Gültigkeit des Satzes nicht verändern:

Hinzufügen einer Ecke, die über eine neue Kante mit dem Rest des Graphen verbunden ist. Die Anzahl der Ecken und Kanten steigt jeweils um eins, während die Anzahl der Flächen gleichbleibt. Galt für den alten Graph E + F − K = 2, so gilt es auch für den neuen, da auf der linken Seite der Gleichung je eine Eins addiert und abgezogen wurde.
Hinzufügen einer Kante, die zwei bereits bestehende Ecken verbindet. Während die Anzahl der Ecken gleichbleibt, steigt die Anzahl der Flächen und Kanten jeweils um eins. Wieder bleibt die Summe E + F − K gleich, da je eine Eins addiert und abgezogen wurde.

Da der Satz für den ersten, einfachsten Graphen galt, muss er also auch für jeden Graphen gelten, der durch eine der beiden Operationen aus diesem entsteht. Jeder Graph, der durch eine weitere Operation aus einem solchen Graphen entsteht, muss den Satz ebenfalls erfüllen, usw. Daher gilt der Satz für alle planaren Graphen und damit auch für alle konvexen Polyeder.

Ein ungewöhnlicher Beweis

Polyeder und zugehöriger planarer Graph - eingebettet in ein Gitternetz

Dieser Beweis zeigt die Gültigkeit des Satzes für planare Graphen mit Hilfe des Satzes von Pick.

Um den Satz von Pick anwenden zu können, muss der Graph in ein Gitternetz eingebettet werden, so dass die Knotenpunkte des Graphen auf Gitterpunkten liegen. Der Graph bleibt äquivalent, wenn man jeden Knotenpunkt innerhalb einer geeignet kleinen Umgebung bewegt. Der Radius des kleinsten Kreises um einen Knotenpunkt, der vollständig in die Umgebung eingebettet ist, sei a. Es wird ein beliebiges Gitternetz mit Einheit a auf der Ebene betrachtet. Dann können wir jeden Knotenpunkt auf einen Gitterpunkt verschieben und erhalten sicher einen äquivalenten Graphen. Der planare Graph besitzt jetzt insgesamt E Knotenpunkte, K Kanten und F − 1 innere Flächen.

Die gesamte (innere) Fläche A des planeren Graphens kann mit Hilfe des Satzes von Pick auf zwei Arten bestimmt werden. Zunächst müssen alle Gitterpunkte innerhalb oder auf dem Graphen charakterisiert werden. Die Punkte innerhalb werden in drei Kategorien eingeteilt: Knotenpunkte V, Punkte auf Kanten Y und sonstige Z, die Punkte auf dem Rand in: Knotenpunkte U und Punkte auf Kanten X. Die Anzahl der Punkte U, V, X, Y, Z sei u, v, x, y, z. Offensichtlich gilt dann für die Zahl der Ecken bzw. Knoten E = u + v.

(i) Betrachten wir den Graphen ohne seine genaue innere Struktur. Es gibt dann insgesamt v+y+z Gitterpunkte im Inneren und u+x Punkte auf dem Rand. Nach dem Satz von Pick gilt für die Fläche des Graphs:

$A = \left(v+y+z\right)+\frac{1}{2}\left(u+x\right)-1$

(ii) Die Fläche A lässt sich auch berechnen, indem man die Flächen der F−1 inneren Gebiete des Graphens mit Hilfe des Satzes von Pick aufsummiert. Die Summe aller inneren Punkte ist dann natürlich z. Die Gitterpunkte auf den Kanten und die Knotenpunkte des Graphens liegen auf ein oder mehreren Rändern der F−1 Gebiete und treten daher mehrmals in der Summe über die F−1 Flächen auf.

Die Gitterpunkte auf Kanten im Inneren (Punkte Y) gehören zu jeweils zwei Flächen, kommen also in der Summe zweimal vor. Die Gitterpunkte auf Kanten am Rand (Punkte X) treten nur einmal auf.

Betrachten wir nun die inneren Knotenpunkte V. Sie grenzen an ebensoviele innere Gebiete, wie Kanten von ihnen wegführen. Bei den Knotenpunkte am Rand U gibt es eine Kante mehr als benachbarte innere Flächen. Addiert man nun die Zahl der wegführenden Kanten über alle Knoten, so erhält man 2K, da jede Kante doppelt vorkommt. Addiert man die Zahl der benachbarten inneren Flächen über alle Knoten, so erhält man 2K−u, da die Zahl der wegführenden Kanten der Zahl der benachbarten Flächen entspricht bis auf eine 1 bei den u Knotenpunkten am Rand. Die Knotenpunkte treten also in der Summe über alle F−1 Flächen insgesamt 2K−u mal auf.

Für die Fläche des Graphens gilt also mit F−1-maliger Anwendung des Satzes von Pick:

$A = z + \frac{1}{2}\left(2y + x + 2K - u\right) - (F - 1)$

Durch Gleichsetzen der beiden Flächenformeln (i) und (ii) fallen die Terme mit x, y, z heraus und man erhält mit E=u+v direkt die Eulersche Polyederformel: