Exponentialfunktion

In der Mathematik wird als Exponentialfunktion zur Basis $a > 0,\; a \neq 1$ eine Funktion der Form $x \mapsto a^x$ bezeichnet. In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten $x$ die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die Variable enthält, befindet sich bei Exponentialfunktionen die Variable im Exponenten; daher auch die Namensgebung.

Als die Exponentialfunktion im engeren Sinne wird die Exponentialfunktion $x \mapsto e^x$ mit der Eulerschen Zahl $e$ als Basis bezeichnet; hierfür ist auch die Notation $x \mapsto \exp(x)$ gebräuchlich. Unter Verwendung des Logarithmus lässt sich wegen der Identität $a^x = e^{x\cdot\ln a}$ jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis $e$ zurückführen, weshalb dieser Artikel im folgenden auf die Exponentialfunktion zur Basis $e$ fokussiert.

Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der Berechnung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung.

Graph der Exponentialfunktion mit Tangente durch (0/1)

Definition

Die Exponentialfunktion (zur Basis $e$ ) $\exp:\R\longrightarrow\R$ kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weise definiert werden. Zwei Möglichkeiten sind:

$\exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}$ (Definition als Potenzreihe, genannt Exponentialreihe)

$\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$ (Definition als Grenzwert einer Folge mit $n \in \N$ ).

Das $n!$ steht für „Fakultät von $n$ “. Beide Arten sind auch zur Definition der komplexen Exponentialfunktion $\exp:\Bbb C\to\Bbb C$ auf den komplexen Zahlen geeignet, s. weiter unten.

Die Exponentialfunktion $\exp:\R\to \R$ auf der reellen Zahlengeraden ist positiv und streng monoton wachsend. Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus $ln(x)$ , der für alle positiven reellen Zahlen $x$ definiert ist. Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.

Konvergenz der Reihe, Stetigkeit

Die Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe

$\exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}$

lässt sich für alle reellen und komplexen $x\;$ einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz. Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also unendlich. Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbereiches stetig sind^[1], ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt stetig.

Rechenregeln

Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung $\exp(x+y)=\exp(x) \cdot \exp(y)$ erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:

$a^x := \exp(x\cdot\ln a)$ bzw. $a^x:=e^{x\cdot\ln a}$

für alle $a > 0 \,$ und alle reellen oder komplexen $x \,$ .

Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und „verwandeln“ Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Gesetze::

$a^0=1 \,$ und $a^1=a \,$

$a^{x+y}=a^x \cdot a^y$

$a^{x\cdot y}=(a^{x})^{y}$

$a^{-x} = \frac{1}{a^x}=\left(\frac{1}{a}\right)^x$

$a^x \cdot b^x=(a \cdot b)^x$

Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen $a \,$ und $b \,$ und alle reellen oder komplexen $x$ . Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:

$\frac{1}{a}=a^{-1}$

$\sqrt[q]{a^p}=a^\frac{p}{q}$

Ableitung: die „natürliche“ Bedeutung der Exponentialfunktion

Die große Bedeutung der Exponentialfunktion leitet sich aus der Tatsache ab, dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ergibt:

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} \exp(x) = \exp(x)$

Wenn man zusätzlich

$\exp(0) = 1 \;$

fordert, ist die Exponentialfunktion im Reellen sogar die einzige Funktion, die dies leistet. Somit kann man die Exponentialfunktion auch als Lösung dieser Differentialgleichung definieren.

Allgemeiner folgt für $a > 0$ aus

$a^x = \exp(x\cdot\ln a)$

und der Kettenregel die Ableitung beliebiger exponentieller Funktionen:

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} a^{b\cdot x} = b\ln a \cdot a^{b\cdot x}$

In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf „natürliche“ Weise ins Spiel.

Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen

Realanteil der komplexen Exponentialfunktion

Imaginäranteil der komplexen Exponentialfunktion

Wenn man die Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen definiert (über die gleichen Reihen), behält sie folgende wichtige Eigenschaften:

$\exp(z+w) =\exp(z) \cdot \exp(w)$

$\exp(0) = 1\!$

$\exp(z) \neq 0$

$\exp^\prime(z) = \exp(z)$

für alle $z,\,w \isin \mathbb{C}$ . Die Exponentialfunktion ist holomorph und periodisch mit einer imaginären Periode $2πi$ . Deshalb ist die Umkehrfunktion im Komplexen, der komplexe Logarithmus, eine vielwertige Funktion $ln(z)$ .

Man kann auch hier eine allgemeine Potenz definieren:

$z^w = \exp(\ln(z) \cdot w)$ mit $z,\,w \isin \mathbb{C}$ ,

was ebenso eine vielwertige Funktion ist (die oben angeführten Potenzgesetze gelten auch für vielwertige Funktionen).

Die Exponentialfunktion erzeugt die trigonometrischen Funktionen:

$\sin(z) := \frac{e^{\mathrm{i}z} - e^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}$ ,

$\cos(z) := \frac{e^{\mathrm{i}z} + e^{-\mathrm{i}z}}{2}$ .

Dies ist eine Verallgemeinerung der Eulerschen Identität.

Ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden:

${\rm sinh}(z) := \frac{e^z - e^{-z}}{2}$ ,

${\rm cosh}(z) := \frac{e^z + e^{-z}}{2}$ ,

$e^z = \cosh\left(z\right) + \sinh\left(z\right)$ .

Die Eulersche Formel ermöglicht auch die Interpretation der Polarkoordinatendarstellung eine komplexen Zahl $z$ als deren natürlichen Logarithmus $ln(z)$ .

Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren

Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren verallgemeinern. Sie ist immer noch über die Reihe

$\exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}$

definiert, die für alle möglichen Werte absolut konvergiert. Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion

$\exp(x+y) =\exp(x) \cdot \exp(y)$

ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte $x$ und $y$ , die kommutieren, also für Werte mit $x\cdot y = y\cdot x$ (dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist). Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen der Form $\dot{y}=A\cdot y$ mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der $n\times n$ -Matrizen mit komplexen Einträgen. Mittels der Jordanschen Normalform lässt sich eine Basis bzw. Ähnlichkeitstransformation finden, in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat. Genauer gesagt, man findet eine reguläre Matrix $C$ , so dass $C - 1 A C = D + N$ , wobei $D$ eine Diagonalmatrix und $N$ eine nilpotente Matrix sind, welche miteinander kommutieren. Es gilt damit

$\exp(tA)=C\exp(t(D+N))C^{-1}=Ce^{tD}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{t^k}{k!}N^k\,C^{-1}$

Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale, das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad, der kleiner als die Dimension $n$ der Matrix $A$ ist.

Numerische Berechnungsmöglichkeiten

Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Auswertung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.

Der Rest der $N$ -ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe, welche auf

$e^x = 1 + \sum_{k=1}^N \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{N+1}}{(N+1)!} \, r_N(x)$ bei $\vert r_N(x) \vert < 2$ für alle

x

mit $\vert x \vert < 0{,}5 N+1$ führt.

Die einfachste Reduktion benutzt die Identität $exp(2 z) = exp(z) 2$ , d.h., zu gegebenem $x$ wird $z := 2^{-K} \cdot x$ bestimmt, wobei $K$ nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit, $y_K \approx e^z$ berechnet und $K$ -fach quadriert: $y_{n-1} := y_n^2$ . $y 0$ wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als $exp(x)$ zurückgegeben.

Effizientere Verfahren setzen voraus, dass $ln(2)$ , besser zusätzlich $ln(3)$ und $ln(5)$ (Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten

$e^x = 2^k \cdot e^{x-k \cdot \ln(2)}$ oder $e^x = 2^k \cdot 3^l \cdot 5^m e^{x-k \cdot \ln(2)-l \cdot \ln(3)-m \cdot \ln(5)}$

benutzt werden, um $x$ auf ein $y$ aus dem Intervall $[-0{,}4 \, ;\, 0{,}4]$ oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwändigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.

Hintergründe und Beweise

Motivation

Auf die Exponentialfunktion stößt man, wenn man versucht, das Potenzieren auf beliebige reelle Exponenten zu verallgemeinern. Man geht dabei von der Rechenregel $a x + y = a x a y$ aus und sucht daher eine Lösung der Funktionalgleichung $f (x + y) = f (x) f (y)$ mit $f (1) = a$ . Nimmt man nun zunächst einmal an, dass eine Lösung tatsächlich existiert, und berechnet deren Ableitung, so stößt man auf den Ausdruck

$\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}$ .

Was bedeutet nun $\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}$ ? Nennt man diesen Grenzwert $ln a$ , so gilt für die durch

$e:=a^{\frac{1}{\ln a}}$

definierte Zahl $e$ (bzw. $a = e ln a$ , $ln a$ muss dann also der Logarithmus zur Basis $e$ sein) nach der Kettenregel formal

$\frac{\rm d}{{\rm d}x}e^x=\frac{\rm d}{{\rm d}x}a^{\frac{x}{\ln a}}=a^{\frac{x}{\ln a}}\frac{1}{\ln a}\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}=a^{\frac{x}{\ln a}}=e^x$ .

$e$ erfüllt dann vermutlich

$\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1$ .

Wie kann man diese Zahl $e$ berechnen? Setzt man rein formal $h = 1 / n$ und löst die Gleichung

$\frac{e^{1/n}-1}{1/n}=1$ , dann erhält man $e=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ . Für die Zahl

$e:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

ist also zu vermuten, dass

$\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1$

bzw.

$\frac{\rm d}{{\rm d}x}e^x=e^x$

gilt.

Für $e x$ erhält man mit $m = n x$ auch rein formal die Darstellung

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}=\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{x}{m}\right)^m$ ,

also die eine Definition der Exponentialfunktion.

Alternativ kann man auch versuchen, die Funktion

$\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}e^x=e^x$

in eine Taylorreihe zu entwickeln. Da per Induktion auch

$\frac{{\rm d}^n }{{\rm d}x^n}e^x=e^x$

gelten muss, also $f (n) (0) = 1$ , erhält man für die Taylorreihe an der Stelle x = 0

$e^x=\sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}$ ,

also genau die andere Definition der Exponentialfunktion. Im Weiteren ist dann zu zeigen, dass die so definierte Exponentialfunktion tatsächlich die gewünschten Eigenschaften hat.

Konvergenz der Folgendarstellung

Die für die Definition der Exponentialfunktion verwendete Folge

$\left( 1 + {x \over n} \right)^n$

ist für reelle $x$ konvergent, da sie erstens ab einem gewissen Index monoton steigend und zweitens nach oben beschränkt ist.

Beweis der Monotonie

Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt für $n>\left|x\right|$

$\sqrt[n+1]{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\cdot 1}\leq\frac{1}{n+1}\left(n\left(1+\frac{x}{n}\right)+1\right)=1+\frac{x}{n+1}$ ,

die Folge ist daher für fast alle $n$ monoton steigend.

Beweis der Beschränktheit

Aus der Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel folgt für $n>\left|x\right|$

$\sqrt[n+1]{\left(1+\frac{x}{n-x}\right)^n\cdot 1}=\sqrt[n+1]{\left(\frac{n}{n-x}\right)^n\cdot 1}\geq \frac{n+1}{1+n\frac{n-x}{n}}=1+\frac{x}{n+1-x}$ .

Für $x\geq 0$ und $n 0 > x$ ist die Folge daher für alle $n\geq n_0$ beschränkt:

$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \leq \left(1+\frac{x}{n-x}\right)^n\leq \left(1+\frac{x}{n_0-x}\right)^{n_0}$ .

Für $x\leq 0$ und $n>\left|x\right|$ gilt offensichtlich die Schranke

$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \leq 1.$

Funktionalgleichung

Da $\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ und $\left(1+\frac{y}{n}\right)^n$ konvergieren, konvergiert auch deren Produkt

$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \left(1+\frac{y}{n}\right)^n= \left(1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}\right)^n=\left(1+\frac{x+y}{n}\right)^n\left(1+\frac{xy}{n^2+n(x+y)}\right)^n$ .

Ist nun $x y < 0$ , so liefert die Bernoullische Ungleichung für hinreichend große $n$

$1\ge\left(1+\frac{xy}{n^2+n(x+y)}\right)^n\ge 1+\frac{xy}{n+x+y}\to 1$ ;

für $x y > 0$ erhält man aus der einfach zu zeigenden Ungleichung $1+u\le \frac{1}{1-u}$ für $u < 1$ und ebenfalls der Bernoullischen Ungleichung für hinreichend große $n$

$1\le \left(1+\frac{xy}{n^2+n(x+y)}\right)^n$ $\le\frac{1}{\left(1-\frac{xy}{n^2+n(x+y)}\right)^n}\le \frac{1}{1-\frac{xy}{n+x+y}}\to 1$ ,

die Exponentialfunktion erfüllt also tatsächlich die Funktionalgleichung $exp(x + y) = exp(x)exp(y)$ .

Ungleichungen

Abschätzung nach unten

Für reelle $x$ lässt sich die Exponentialfunktion mit

$\exp(x)> 0\;$

nach unten abschätzen. Der Beweis ergibt sich aus der Definition

$\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

und der Tatsache, dass $1 + {x \over n}> 0$ für hinreichend große $n\;$ . Da die Folge monoton wachsend ist, ist der Grenzwert daher echt größer Null.

Diese Abschätzung lässt sich zur wichtigen Ungleichung

$\exp(x)\geq 1+x$

verschärfen. Für $x\leq-1$ folgt sie aus $\exp(x)\geq 0$ , für $x\geq -1$ ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die Bernoullische Ungleichung auf die Definition

$\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

anwendet. Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge $\left( 1 + {x \over n} \right)^n$ sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden, benötigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion, die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen.

Abschätzung nach oben

Aus der einfach zu zeigenden Ungleichung $1+u\le \frac{1}{1-u}$ für $u < 1$ und der Bernoullischen Ungleichung erhält man für reelle $x < 1$ und $n$ hinreichend groß eine Abschätzung nach oben:

$\left( 1 + {x \over n} \right)^n \le \frac{1}{\left( 1 - {x \over n} \right)^n}\le \frac{1}{1-x}$ ,

also

$\exp(x)\le\frac{1}{1-x}$ .

Ableitung der Exponentialfunktion

Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0:

$1=\lim_{h\to 0}\frac{1+h-1}{h}\le\lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}\le\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{1-h}-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{1-h}=1$ .

Gemeinsam mit der Funktionalgleichung $exp(x + y) = exp(x)exp(y)$ folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen:

$\exp'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\exp(x+h)-\exp(x)}{h}=\exp(x)\lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}=\exp(x).$

Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion

Will man die einfache Differentialgleichung: $y' = y$ lösen und setzt noch $f (0) = 1$ voraus, so erhält man daraus eine Definition von $e x$ .

Umkehrfunktion

Setzt man $f (0) = 1$ nicht voraus, so benutzt man die Umkehrfunktion f(x) von $\int\limits_{1}^{x}\frac{1}{t} \,\mathrm{d} t = \ln x = g$ . Denn $x = \log\,y$ , und nach den Eigenschaften der Logarithmusfunktion ist $\frac{\mathrm d x}{\mathrm{d} y} = \frac{1}{y}$ , und man kann die Umkehrfunktion bilden und erhält $\frac{\mathrm d y}{\mathrm{d} x} = e^x$ . Da die untere Grenze gleich 1 ist, ist $g (1) = 0$ und bei der Umkehrfunktion $f (0) = 1$ nach Eigenschaft der Umkehrfunktion: $g (x) = f (y)$ .

Differentialgleichung

Erweitert man die Differentialgleichung auf $y^\prime = \alpha y$ für $y = f (x)$ und löst sie, so erhält man für y die Form $y = f (x) = c e α x$ .

Speziell für $α = 1$ ist $y = f (x) = c e x$ . Ist dann u eine Lösung und $u = y e - x$ , dann ist $u^\prime = y^\prime e^{-x} - ye^{-x} = e^{-x}(y^\prime - y)$ und nach Voraussetzung $u^\prime = 0$ und $u = c o n s t . = c$ und $y = f (x) = c e x$ .

Für beliebiges $α$ führen wir $u = y e - α x$ ein . Es ergibt sich $u^\prime = y^\prime e^{-\alpha x} - \alpha ye^{-\alpha x}$ und nach Voraussetzung wieder $u^\prime = 0$ und $u = c o n s t . = c$ und $y = f (x) = c e α x$ .

Beispiele

Man besitzt nun ein mächtiges Instrument zur Beschreibung von Vorgängen in der Physik und Chemie, wo man mittels eines Ansatzes vom Typ $y' = α y$ ein die Exponentialfunktion enthaltendes Ergebnis der Form $y = f (x) = c e α x$ erhält.

Physik

Als Beispiele für das häufige Auftreten der Exponentialfunktion in der theoretischen Physik seien genannt:

Radioaktiver Zerfall
Barometrische Höhenformel
Zeitliche Ladungskurven eines elektrischen Kondensators
Zeitliche Energiekurve beim Einschaltvorgang einer Spule durch Selbstinduktion

Chemie

Als ein Beispiel in der Chemie sei hier eine einfache chemische Reaktion skizziert. Es wird angenommen, dass wir die Lösung eines Stoff vorliegen haben, etwa Rohrzucker in Wasser. Der Rohrzucker werde nun durch einen Katalysator zu Invertzucker umgewandelt (hydrolysiert). Bei dieser einfachen chemischen Reaktion wird man das Geschwindigkeitsgesetz (unter Vernachlässigung der Rückreaktion) wie folgt formulieren:

Die Reaktionsgeschwindigkeit als Funktion der Zeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge der sich umwandelnden Substanz.

Bezeichnen wir die Menge des zur Zeit x noch nicht umgewandelten Rohrzuckers mit u(x), so ist die Reaktionsgeschwindigkeit $-\frac{\mathrm d u}{\mathrm d x}$ , und nach dem oben formulierten Geschwindigkeitsgesetz gilt die Gleichung

$\frac{\mathrm d u}{\mathrm d x}=-ku$

mit einer reaktionsspezifischen Geschwindigkeitskonstante k. Aus diesem Momentangesetz erhält man nach obiger Differentialgleichung ein Integralgesetz, welches uns die Menge u des übriggeliebenen Rohrzuckers als Funktion der Zeit liefert:

u (x) = a e - k x

Die chemische Reaktion nähert sich also asymptotisch ihrem Endzustand u = 0 an, der völligen Umwandlung von Rohrzucker in Invertzucker. (Die Vernachlässigung der Rückreaktion ist hier akzeptabel, da das chemische Gleichgewicht der Rohrzucker-Hydrolyse sehr stark auf Seiten des Invertzuckers liegt.) Die Konstante a ist dabei offensichtlich die zur Zeit x = 0 vorhandene Menge.

Biologie

"logarithmisches" Wachstum einer Population von z. B. Mikroorganismen

Stochastik

Gleiche Anzahl von Münzen und Empfängern

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig keine, eine oder mehr Münzen zu erhalten, wenn n Münzen auf n Empfänger verteilt werden und n sehr groß ist?

Die Eulersche Zahl e und die Näherungsformel für die Exponentialfunktion

(1) $e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

erlauben eine einfache Abschätzung.

Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Verteilung eine Münze zu erhalten, beträgt 1/n und 1-1/n, keine Münze zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, zweimal keine Münze zu erhalten, beträgt: (1-1/n) * (1-1/n). Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, n-mal erfolglos zu sein:

(2) P(keine Münze) = (1-1/n)ⁿ ~ 1/e ~ 0,37.

Die Wahrscheinlichkeit, nur einmal Erfolg zu haben, ist das Produkt aus Misserfolgen, Erfolg und der Kombinationsmöglichkeiten n, wann sich der Erfolg einstellt (beim ersten Mal, oder zweiten oder dritten...):

(3) P(eine Münze) = (1-1/n)^n-1 * 1/n * n = (1-1/n)^n-1 ~ 1/e ~ 0,37.

Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine Münze zu erhalten, lautet entsprechend:

(4) P(zwei Münzen und mehr) = 1-P(keine Münze)-P(eine Münze) = 0,26.

Mehr Münzen als Empfänger

Wie viele Münzen m müssen es sein, um die Wahrscheinlichkeit P_m, keine zu erhalten, zu verringern, beispielsweise auf 0,1 statt 0,37? Aus (1) folgt:

(5) P_m = (1-1/n)^m -> m = ln(P_m)/ln(1-1/n).

Oder, anders gefragt: Wie viele Münzen m müssen es mehr sein als Empfänger n?

(6) m/n = ln(P_m)/ln(1-1/n)ⁿ ~ -ln(P_m).

Damit im Mittel nur 10% der Empfänger leer ausgehen, ist die 2,3-fache Menge an Münzen erforderlich, bei 1% fast die 5-fache Anzahl.

Wirtschaft

Stetige Verzinsung

Quellen

↑ Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 175, 98 Satz 2 für den reellen und S 418 für den komplexen Fall