Funktionenraum

Ein Funktionenraum ist eine Menge von Funktionen^[1], die alle denselben Definitionsbereich besitzen. Wenn diese Menge auch noch ein Vektorraum ist, dann spricht man von einem linearen Funktionenraum.^[2]^,^[3] Viele wichtige Funktionenräume sind unendlichdimensional und werden in der Funktionalanalysis betrachtet.

Funktionenräume werden häufig mit einer Norm versehen, sodass ein normierter Raum oder - im Falle der Vollständigkeit - sogar ein Banachraum entsteht. In anderen Fällen werden Funktionenräume durch Definition einer Topologie zum topologischen Vektorraum.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition eines Funktionenraums über einem Körper
2 Metrik auf dem Funktionenraum
3 Beispiele
4 Quellen und Bemerkungen

Formale Definition eines Funktionenraums über einem Körper

Sei $M$ eine nichtleere Menge, $\mathbb K$ ein Körper und $\mathbb{K}^M$ (manchmal auch als $\mathrm{Abb}(M, \mathbb K)$ notiert) die Menge aller Funktionen von $M$ nach $\mathbb K$ .

Dann wird die Abbildungsmenge $\mathbb{K}^M$ zu einem Vektorraum über $\mathbb K$ , indem man für die Funktionen $f, g \in \mathbb{K}^M$ und für Skalare $\lambda \in \mathbb K$

die Addition $(f + g): M \rightarrow \mathbb K, x \mapsto f(x) + g(x)$
und die Skalarmultiplikation $\lambda f : M \rightarrow \mathbb K, x \mapsto \lambda\cdot f(x)$

punktweise vereinbart. Die Vektorraumeigenschaften des Abbildungsraums ergeben sich dann allein aus den Körpereigenschaften von $\mathbb{K}$ .

Ist $M$ ein topologischer Raum und $\mathbb{K}$ ein topologischer Körper, so schreibt man $\mathcal C (M, \mathbb{K})$ (für englisch continuous) für die Menge der stetigen Funktionen.
Ist die Topologie auf dem Körper durch eine Metrik gegeben, dann kann man sinnvoll von der Menge der beschränkten Funktionen sprechen (auch ohne Topologie auf M). Für diese Abbildungsmenge ist keine einheitliche Schreibweise gebräuchlich. Man schreibt aber $\mathcal C_b(M, \mathbb{K})$ für die Menge der beschränkten Funktionen, die zugleich stetig sind,
Sind die Topologien auf M und $\mathbb{K}$ durch eine Pseudometrik oder eine Metrik gegeben, dann schreibt man $\mathcal C_u (M, \mathbb{K})$ für die Menge der gleichmäßig stetigen Funktionen. Sind M und $\mathbb{K}$ uniforme Räume, dann bezeichnet diese Notation die Menge der uniform-stetigen Funktionen, das heißt jener Funktionen, die die uniformen Strukturen respektieren, dies motiviert diese Notation.

Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, in welchen Körper die Funktionen abbilden, wird dieser bei der Notation meist weggelassen, man schreibt dann kurz $\mathcal C (M)$ , $\mathcal C_b(M)$ bzw. $\mathcal C_u (M)$ . Diese Abkürzungen sind insbesondere dann verbreitet, wenn $\mathbb{K}$ der Körper der reellen Zahlen oder der komplexen Zahlen ist. In diesen Fällen sind noch die Bezeichnungen

$\mathcal D(M)$ für die Menge der differenzierbaren Funktionen und
$\mathcal C^p(M)$ für die Menge der p-mal stetig differenzierbaren Funktionen, wobei auch $p = \infty$ zugelassen ist,

üblich, wenn immer sich auf der Menge M ein sinnvoller Ableitungsbegriff definieren lässt. Das ist zum Beispiel für alle offenen Teilmengen von reellen und komplexen Skalarprodukträumen der Fall.

Metrik auf dem Funktionenraum

Ist der Bildbereich $K\in \{\mathbb R, \mathbb C\}$ , lässt sich der Funktionenraum durch

$d_\infty: \mathcal F_b(M, \mathbb K) \times \mathcal F_b(M, \mathbb K) \rightarrow \mathbb R, (f, g) \mapsto \sup_{x \in M}|f(x) - g(x) |$

zu einem metrischen Raum machen. Dabei ist $|\cdot|$ der jeweilige Betrag auf dem Bild.

Alternativ ist auch die Metrik

$d'_\infty: \mathcal F_b(M, \mathbb K) \times \mathcal F_b(M, \mathbb K) \rightarrow \mathbb R, (f, g) \mapsto \min\{1, \sup_{x \in M}|f(x) - g(x) | \}$

möglich. Diese beiden Metriken erzeugen aber dieselben offenen Mengen, sodass sie äquivalent behandelt werden können.

Beispiele

Der Funktionenraum (oder nur Raum) der stetigen Funktionen auf dem kompakten Intervall $D = [a, b]$ , genannt $C 0 (D)$ . $C 0 (D)$ ist bezüglich der Supremumsnorm ein Banachraum. Meist wird $D \subset \mathbb{R}^n$ angenommen.

Ein anderes Beispiel sind die L^p-Räume. Auch diese Funktionenräume sind für $p \ge 1$ Banachräume.

Quellen und Bemerkungen

↑ Naas J., Schmid H.L., Mathematisches Wörterbuch, B.G. Teubner Stuttgart, 1979, ISBN 3-519-02400-4
↑ Heuser H., Lehrbuch der Analysis Teil 1, 5. Auflage, Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2
↑ Das Wort linear wird oft weggelassen, da die meisten relevanten Funktionenräume auch als Vektorräume gesehen werden können.