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Ganzheit (kommutative Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist Ganzheit eine leichte Abwandlung des Begriffes eines algebraischen Elementes, die aber wesentlich andere Eigenschaften bewirkt.

Definition

Es sei A ein Ring und B eine A-Algebra. Dann heißt ein Element ganz über A, wenn es ein normiertes Polynom

gibt, so dass

gilt.

B heißt ganz über A, wenn jedes Element von B ganz über A ist. Ist insbesondere , so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.

Für eine beliebige A-Algebra B heißt die Menge der über A ganzen Elemente von B der ganze Abschluss von A in B.

Eigenschaften

• Der ganze Abschluss von A in B ist eine A-Unteralgebra von B.

• Eine A-Algebra B ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.

Beispiele

• Ist und , so ist der ganze Abschluss von A in B gleich

• Siehe Ganzheitsring