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Gerade

Dieser Artikel behandelt die Gerade in der Geometrie; für andere Bedeutungen siehe Gerade (Begriffsklärung).

Darstellung einer Geraden im Kartesischen Koordinatensystem

Eine gerade Linie oder kurz Gerade ist ein Element der Geometrie. Anschaulich stellt man sich darunter eine unendlich lange, unendlich dünne Linie vor. Moderne axiomatische Theorien der Geometrie nehmen darauf aber keinen Bezug (Synthetische Geometrie). Für sie ist eine Gerade ein Ding ohne innere Eigenschaften, lediglich die Beziehungen zu anderen Geraden, Punkten und Ebenen sind von Bedeutung. In der Analytischen Geometrie wird eine Gerade als eine Menge von Punkten realisiert.

Synthetische Geometrie

In seinen Elementen hat Euklid eine explizite Definition einer Geraden gegeben, die dem anschaulichen Bild entspricht. Für Sätze und ihre Beweise spielt diese Definition jedoch keine Rolle. Moderne Axiomensysteme verzichten daher auf eine solche Definition.

Eine Gerade ist in diesem Fall ein Begriff auf den die einzelnen Axiome Bezug nehmen. Ein Beispiel ist das erste Axiom aus Hilberts Axiomensystem:

Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g.

Die Bedeutung des Begriffs Gerade ergibt sich aus der Gesamtheit des Axiomenssystems. Eine Interpretation als eine unendlich lange, unendlich dünne Linie ist nicht zwingend.

In der projektiven Ebene sind die Begriffe Punkt und Gerade sogar vollständig austauschbar. Damit ist es hier möglich sich eine Gerade als unendlich klein und einen Punkt als unendlich lang und unendlich dünn vorzustellen.

Analytische Geometrie

In der analytischen Geometrie wird der geometrische Raum als n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K dargestellt. Eine Gerade wird dabei als eindimensionaler affiner Unterraum dieses Vekotorraums definiert.

In drei Dimensionen über dem Körper der reellen Zahlen erfüllt die Analytische Geometrie alle Bedingungen, die Hilbert in seinem Axiomensystem vorraussetzt. In diesem Fall ist eine Gerade somit auch eine Gerade im Sinne Hilberts.

Es ist möglich eine Gerade mit Hilfe eines Stützvektor v und eines Richtungsvektors u zu beschreiben. Die zugehörige Gerade ist dann

Die affine Hülle von zwei verschiedenen Vektoren x und y

ist ebenfalls eine Gerade.

Auch der Lösungsraum eines (inhomogenen) linearen Gleichungssystems mit n − 1 linear unabhängigen Gleichungen ist ein affiner Unterraum der Dimension Eins und somit eine Gerade. In zwei Dimensionen kann eine Gerade folglich durch eine Geradengleichung

αx + βy = γ

angegeben werden, wobei und entweder α oder β muss ungleich Null sein.

Kürzester Weg

Im euklidischen Raum liegt der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf einer Geraden. Verallgemeinert man diese Eigenschaft der Geraden auf gekrümmte Räume (Mannigfaltigkeiten), so gelangt man zum Begriff der Geodäte.