Gerade und ungerade Funktionen

Eine Funktion f mit Definitionsbereich D heißt in der Mathematik gerade Funktion, wenn für alle $x \in D$ auch $-x \in D$ ist und folgende Achsensymmetrie gilt:

$f(x) = f(-x)\,$ .

Beispiel für eine gerade Funktion: Die Normalparabel

Beispiele gerader Funktionen sind

$|x|\,, x^2\,, \cos\,x, \mathrm{cosh}\,x$

Gerade Funktionen können keine Bijektion darstellen.

Eine Funktion f mit Definitionsbereich D heißt ungerade Funktion, wenn die Punktsymmetrie gilt:

$f(-x) = -f(x)\,$ .

Beispiele ungerader Funktionen sind

$x\,, x^3\,$

und andere Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

$\sin\, x, \frac{1}{x}, \mathrm{sinh}\,x$

Ist $f$ eine ungerade Funktion, und ist $0\in D$ , so gilt $f (0) = 0$ . Die Funktion $f (x) = 1 / x$ ist ein Beispiel einer ungeraden Funktion, die für $x = 0$ nicht definiert ist.

Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Funktion, die konstant 0 ist.

Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen

Die Summe zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
Die Summe zweier ungerader Funktionen ist wieder ungerade.
Das Produkt zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.
Die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur gerade (ungerade) Potenzen.
Die Fourier-Reihe einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur Cosinus- (Sinus-) Terme.
Eine beliebige Funktion lässt sich als Summe einer geraden und ungeraden Funktion wie folgt schreiben:

$f(x)=f_\mathrm{g}(x)+f_\mathrm{u}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}$ , mit

$f_\mathrm{g}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ dem geraden Anteil der Funktion

f (x)

und

$f_\mathrm{u}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ dem ungeraden Anteil der Funktion

f (x)

Berechnet man das bestimmte Integral einer ungeraden Funktion, wobei die Grenzen symmetrisch um Null liegen, ergibt sich Null: $\int_{-a}^{a} f(x) dx=0$