Gerade und ungerade Zahlen
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Die Artikel Parität (Algebra) und Gerade und ungerade Zahlen überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zu vereinigen. Die Diskussion über diese Überschneidungen findet hier statt. Bitte äußere dich dort, bevor du den Baustein entfernst. Gunther 16:26, 4. Nov 2005 (CET) |
Eine ganze Zahl ist
- gerade, wenn sie (ohne Rest) durch 2 teilbar ist.
Sie ist
- ungerade, wenn sie nicht (ohne Rest) durch 2 teilbar ist.
Gerade Zahlen sind
- ..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...
Sie sind das Doppelte einer ganzen Zahl (und haben also die Form 2k mit einer ganzen Zahl k).
Ungerade Zahlen sind
- ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...
Sie ergeben bei Division durch 2 den Rest 1 (und haben also die Form 2k+1 mit einer ganzen Zahl k).
Eigenschaften
- 2 ist die einzige gerade Primzahl.
Vgl. den unübersetzbaren Ausspruch
- All primes are odd, but two is the oddest of all. (even und odd bedeutet bei Zahlen gerade bzw. ungerade, odd heißt aber auch "merkwürdig".)
- Jede ganze Zahl kann (in eindeutiger Weise) als Produkt einer Potenz von 2 und einer ungeraden Zahl
geschrieben werden (Ausnahme die Zahl 0):
(siehe Primfaktorzerlegung)
Die Goldbachsche Vermutung behauptet:
- Jede gerade Zahl größer als 2 ist Summe von zwei Primzahlen.
- Beispiele:
- 16 = 5+11
- 50 = 19+31
Bisher sind nur viele Teilergebnisse erzielt worden. Die Vermutung selbst ist jedoch noch unbewiesen.
- Alle bekannten vollkommenen Zahlen (6, 28, ...) sind gerade.
Es ist nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt.
Rechenregeln
Die Einteilung der natürlichen Zahlen nach ihrer Parität ist das einfachste Beispiel für die Bildung von Kongruenzklassen (siehe Teilbarkeit).
Die (Merk-)Regeln
- gerade + gerade und ungerade + ungerade ergeben gerade
- gerade + ungerade und ungerade + gerade ergeben ungerade
sowie
- gerade mal gerade, gerade mal ungerade und ungerade mal gerade ergeben gerade
- ungerade mal ungerade ergibt ungerade
sind das einfachste Beispiel für einen endlichen Körper (hier mit nur zwei Elementen).
Schreibt man 0 für gerade und 1 für ungerade, so erhält man
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