Gleichverteilung

Der Begriff Gleichverteilung stammt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei im diskreten Fall jeder mögliche Zustand mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt. Im stetigen Fall betrifft es eine Verteilung mit konstanter Dichte. Der Grundgedanke einer Gleichverteilung ist, dass es keine Präferenz gibt.

Beispielsweise sind die Elementarereignisse beim Würfeln die sechs möglichen Zustände nach einem Wurf: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes dieser Zustände beträgt 1/6, da sie für jeden Zustand gleichgroß sein soll und die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss.

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, wenn $Ω$ gleichverteilt ist, gleich $P(A) = \mathcal{U}_{\Omega}(A)$ .

Die Gestalt von $\mathcal{U}_{\Omega}$ , also die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, hängt von Ω ab.

Endliches Ω

Hat Ω nur endlich viele Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A mit A ⊆ Ω gleich $\mathcal{U}_{\Omega}(A) = {| A | \over |\Omega |}$ = (Anzahl der Elemente von A) / (Anzahl der möglichen Fälle). Man spricht dann von einer diskreten Gleichverteilung.

Stetiger Fall

Ist $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ , besitzt also Ω n reelle Koordinaten, so muss das Volumen von Ω $λ n (Ω)$ mit 0 < λⁿ(Ω) < ∞, bestimmt werden. Ist $\Omega = \mathbb{R}$ , so gilt für ein Intervall $I \subset \mathbb{R}$ von a bis b: λ¹(I) = b − a. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist gleich $P(A) = \mathcal{U}_{\Omega}(A) = {\int_{A} {1 \over \lambda ^n(\Omega)}, \mathrm{d}x} = {\lambda ^n(A) \over \lambda ^n(\Omega)}$ . Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist hier eine konstante Funktion ρ mit $ρ(x) = 1 / λ n (Ω)$ . Man spricht hier von der stetigen Gleichverteilung.

Beispiele

Beim Würfeln eines idealen Würfels ist die Wahrscheinlichkeit einer Augenzahl zwischen eins und sechs, gewürfelt zu werden, 1/6.
Beim Münzwurf einer idealen Münze ist die Wahrscheinlichkeit einer der beiden Seiten, oben zu liegen, 1/2.
Im Weißen Rauschen sind die Frequenzen gleichverteilt, und zwar stetig.

Laplace

Die Gleichverteilung war Forschungsgebiet für Pierre-Simon Laplace, der vorschlug, dass man, wenn man auf einem Wahrscheinlichkeitsraum das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht kenne, erst einmal Gleichverteilung annehmen solle (Indifferenzprinzip). Nach ihm nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathfrak{P}(\Omega),\mathcal{U}_{\Omega})$ für endliches Ω auch Laplace-Raum.