Gradientenfeld

Ein Gradientenfeld ist ein Vektorfeld, das der Gradient einer „Stammfunktion“ (des Potentials) sein kann.

Anders ausgedrückt: Das Vektorfeld F ist ein Gradientenfeld genau dann, wenn es ein Skalarfeld G gibt mit F = grad G. G heißt in diesem Fall Potential. In der Physik finden Potentiale und deren Felder häufige Anwendung. Gradientenfelder zeichnen sich durch folgenden Eigenschaften aus:

Linienintegrale sind wegunabhängig, nur die Anfangs- und Endposition sind relevant.
Daraus folgt, dass alle geschlossenen Kurvenintegrale verschwinden.
Gradientenfelder sind rotationsfrei.

Kriterien

Sei $U \subseteq \mathbb{R}^2$ offene Menge und $F: U \to \mathbb{R}^2$ stetig differenzierbar, dann ist F nach dem Satz von Schwarz genau dann ein Gradientenfeld, wenn gilt: $\frac{\partial F_1}{\partial x_2} = \frac{\partial F_2}{\partial x_1}$

Sei $U \subseteq \mathbb{R}^n$ offene und sternförmige Menge und $F: U \to \mathbb{R}^n$ stetig differenzierbar, so ist F genau dann ein Gradientenfeld, wenn gilt: $\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(x) = \frac{\partial F_j}{\partial x_i} (x) \quad \forall x \in U,\ \forall\, i,j \in \{1 \dots n \}$

Außerdem gilt: F ist Gradientenfeld auf U $\Leftrightarrow$ F ist konservatives Vektorfeld auf U $\Leftrightarrow$ Das Kurvenintegral ist in U wegunabhängig $\Rightarrow\operatorname{Rot}(F)=0$