Harmonischer Oszillator

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Dieser Artikel behandelt den harmonischen Oszillator in der klassischen Physik. Der Artikel Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik) behandelt sein Analogon in der Quantenphysik

Potenzialkurve eines harmonischen Oszillators

Der harmonische Oszillator ist in der Mechanik ein System, das ein Potentialminimum besitzt und bei einer Auslenkung $x$ aus diesem Minimum eine der Auslenkung proportionale Rückstellkraft $F$ erfährt:

$F(x) = - k\ x\qquad$ (Hookesches Gesetz)

Dabei ist $k > 0$ die Federkonstante des Oszillators.

Äquivalent kann man formulieren, dass ein harmonischer Oszillator ein quadratisches, also parabelförmiges Potential besitzt:

$V(x) = \frac{1}{2} k x^2$ dies folgt aus: $F = - \frac{\mathrm dV}{\mathrm dx} \Rightarrow V = - \int F dx$

In dieser Definition findet das Konzept des harmonischen Oszillators in der gesamten Physik weit über die klassische Mechanik hinaus Anwendung.

Ein Teilchen der Masse $m$ beschreibt im Oszillatorpotential eine Sinusschwingung der Frequenz $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ . Daher formuliert man obige Gleichungen auch als

$F(x) = - m\, \omega_0^2 \ x\,; \qquad V(x) = \frac{1}{2} m\ \omega_0^2 \ x^2$

Auch wenn ein perfekter harmonischer Oszillator in der Natur nur selten realisiert ist (die potentielle Energie wird für große Auslenkungen beliebig groß), so hat das Konzept doch fundamentale Bedeutung in der Physik. Der Grund ist, dass in vielen physikalischen Modellen Auslenkungen aus einem Zustand minimalen Potentials betrachtet werden. Beschränkt man sich auf die Umgebung eines solchen Minimums, so kann das Potential lokal in der Regel mit einem harmonischen Oszillator approximiert werden, da das quadratische Glied das erste nichtverschwindende Glied in der Taylorentwicklung des Potentials um das Minimum ist. Der Vorteil einer solchen Näherung besteht darin, dass das Problem mit Standardmethoden handhabbar wird und einfach zu interpretierende analytische Lösungen erhalten werden.

Federpendel und Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen sind Beispiele für harmonische Oszillatoren in der Mechanik. Der elektrische Schwingkreis ist ein Beispiel aus der Elektrizitätslehre.

Inhaltsverzeichnis

1 Differentialgleichung des harmonischen Oszillators
2 Der mehrdimensionale harmonische Oszillator
3 Quantenmechanik
4 Anharmonische Oszillatoren
5 Siehe auch
6 Weblinks

Differentialgleichung des harmonischen Oszillators

Aus dem linearen Kraftgesetz erhält man mit dem Newton-Axiom

$F = m\, \ddot x$

die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators:

$\ddot x + \omega_0^2 x = 0$

Dieser kann noch ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfungsterm $2 \Gamma \dot{x}$ und eine antreibende Kraft $F ext$ hinzugefügt werden, um die Differentialgleichung eines angetriebenen, gedämpften harmonischen Oszillators zu erhalten:

$\ddot x + 2 \Gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m}\;F_\mathrm{ext}$

Tritt in der externen Kraft eine Fourierkomponente mit der Frequenz $ω 0$ auf, spricht man von resonanter Anregung. Ist zusätzlich die Dämpfung schwach, so kann es in einem solchen System zu einer Resonanzkatastrophe kommen, bei der die Amplitude des Oszillators bis zur Zerstörung des Systems wächst.

Der mehrdimensionale harmonische Oszillator

Ein harmonischer Oszillator in n Dimensionen hat das Potential

$V(\vec{x}) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n k_i\, x_i^2$

und das Kraftgesetz

$\vec{F}( \vec{x} ) = - \sum_{i=1}^n k_i\ x_i\, \vec{e}_i$ .

Da die Kraftkomponenete in einer Dimension nur von der Auslenkung in diese Dimension abhängt, sind die Lösungen für die einzelnen Komponenten des Ortsvektors die Lösungen des entsprechenden eindimensionalen Problems.

Quantenmechanik

Siehe Hauptartikel: Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)

Anharmonische Oszillatoren

Bei anharmonische Oszillatoren treten mehr oder minder große Abweichungen vom linearen Kraftgesetz bzw. vom quadratischen Potential auf. Ist das System stark gedämpft und die Anharmonizität klein, so macht sie sich in der Regel nur dadurch bemerkbar, dass Oberschwingungen der Grundfrequenz auftreten. Wenn das System nur schwach gedämpft ist oder der nichtlineare Term das Kraftgesetz dominiert, so kann chaotisches Verhalten auftreten. Beispiele dafür sind der Toda-Oszillator und der Duffing-Oszillator.