Hexadezimalsystem

Im Hexadezimalsystem werden Zahlen in einem Stellenwertsystem zur Basis 16 dargestellt.

Alternative Bezeichnungen für hexadezimal (von griech. "hexa" und lat. "decem") sind hexadekadisch (reines Griechisch) und sedezimal (reines Latein). Falsch ist die seltene Bezeichnung hexagesimal die gleichbedeutend mit sechsagesimal ein Zahlensystem zur Basis 60 bezeichnet.

In der Datenverarbeitung wird das Hexadezimalsystem neben dem Oktalsystem oft verwendet, um die Datenworte bei Computern, die oft aus Oktetten bestehen, in einer zweistelligen Hexadezimalzahl darzustellen. Im Gegensatz zum Dezimalsystem eignen sich das Hexadezimalsystem mit seiner Basis als vierte Zweierpotenz ( $16 = 2 4$ ) sowie das Oktalsystem mit seiner Basis als dritte Zweierpotenz ( $8 = 2 3$ ) nämlich gut zur Notation, da stets eine feste Anzahl Zeichen benötigt wird (zur Darstellung eines Oktetts mit 8 binären Ziffern werden nur zwei Hexadezimalziffern benötigt).

Wir sind es gewöhnt, im Dezimalsystem („10er-System“) zu rechnen. Das bedeutet, unser „arabisches“ (eigentlich indisches) Zahlensystem verwendet 10 Symbole zur Notation der Ziffern (0 bis 9). Das Hexadezimalsystem enthält dagegen 16 Ziffern. Seit Mitte der 1950er Jahre werden zur Darstellung der sechs zusätzlichen Ziffern die Buchstaben A bis F oder a bis f als Zahlzeichen verwendet. Dies geht auf die damalige Praxis der IBM-Informatiker zurück. So lassen sich mit einer einstelligen hexadezimalen Zahl die Dezimalzahlenwerte von 0 bis 15 darstellen:

hexadezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
dual	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
dezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
oktal	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellung von Hexadezimalzahlen
2 Zählen im Hexadezimalsystem
3 Hexadezimalbrüche
4 Anwendung
5 Konvertierung in andere Zahlensysteme
- 5.1 Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen
- 5.2 Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen
6 Mathematische Darstellung des Hexadezimalsystems
7 Siehe auch
8 Weblinks

Darstellung von Hexadezimalzahlen

Um hexadekadische von dekadischen Zahlen unterscheiden zu können, existieren mehrere Schreibweisen. Üblicherweise werden hexadekadische mit einem Index oder Präfix versehen.

Verbreitete Schreibweisen sind: 72₁₆, 72_H, 0x72, "72, 72h, $72 und X'72' wobei das Präfix 0x und das Suffix h insbesondere in der Programmierung und technischen Informatik Verwendung finden. Die Schreibweise mit dem Dollar-Präfix ist in den Assemblersprachen bestimmter Prozessorfamilien üblich, zum Beispiel beim Motorola 68xx und 68xxx oder beim MOS 65xx; die Schreibweise X'72' ist in der Welt der IBM-Großrechner üblich.

Der Übersicht dienende Trennpunkte können bei Hexadezimalzahlen alle vier Stellen gesetzt werden, trennen also Gruppen von jeweils sechzehn Bit. Die Bedeutung der 1.0000₁₆ = 65.536₁₀ unter den hexadekadischen Zahlen entspricht also jener der 1.000₁₀ unter den dekadischen.

Zum Vergleich ein voller Vierundsechzig-Bit-Bus mit und ohne Trennpunkte: FFFF.FFFF.FFFF.FFFF und FFFFFFFFFFFFFFFF

Dezimale Zahlen werden wo sie nicht der zu erwartende Normalfall sind indexiert: 114₁₀

Oktale Zahlen werden meist durch eine obligatorische führende Null gekennzeichnet: 017

Zählen im Hexadezimalsystem

Gezählt wird wie folgt:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E	1F
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	2A	2B	2C	2D	2E	2F
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	FA	FB	FC	FD	FE	FF
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
FF0	FF1	FF2	FF3	FF4	FF5	FF6	FF7	FF8	FF9	FFA	FFB	FFC	FFD	FFE	FFF
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
FFF0	FFF1	FFF2	FFF3	FFF4	FFF5	FFF6	FFF7	FFF8	FFF9	FFFA	FFFB	FFFC	FFFD	FFFE	FFFF
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Für die hexadezimalen Ziffern und Zahlen sind keine eigenständigen Namen gebräuchlich. Hexadezimalzahlen werden daher Ziffer für Ziffer gelesen.

Beispiele:

2F sprich: „zwei-eff“,
112 sprich: „eins-eins-zwei“.

Hexadezimalbrüche

Da das Hexadezimalsystem ein Stellenwertsystem ist, haben die Stellen nach dem Komma (das auch hier manchmal als Beistrich, manchmal als Punkt geschrieben wird) den Stellenwert $1 \over B^n$ , wobei $B$ die dezimale Basis 16 und $n$ die Position der jeweiligen Nachkommastelle ist. Die erste Nachkommastelle (n=1) hat damit den Stellenwert ${1 \over 16^1} = {1 \over 16}$ , die zweite Nachkommastelle (n=2) hat den Stellenwert ${1 \over 16^2} = {1 \over 256}$ , die dritte Nachkommastelle (n=3) hat den Wert ${1 \over 16^3} = {1 \over 4096}$ und so weiter.

Da die Zahl 16 nur über den einzigen Primfaktor 2 verfügt, sind Perioden eher die Regel:


$1 \over 1$	=	1	$1 \over 5$	=	0,3₁₆	$1 \over 9$	=	0,1C7₁₆	$1 \over D_{16}$	=	0,13B₁₆
$1 \over 2$	=	0,8₁₆	$1 \over 6$	=	0,2A₁₆	$1 \over A_{16}$	=	0,19₁₆	$1 \over E_{16}$	=	0,1249₁₆
$1 \over 3$	=	0,5₁₆	$1 \over 7$	=	0,249₁₆	$1 \over B_{16}$	=	0,1745D₁₆	$1 \over F_{16}$	=	0,1₁₆
$1 \over 4$	=	0,4₁₆	$1 \over 8$	=	0,2₁₆	$1 \over C_{16}$	=	0,15₁₆	$1 \over 10_{16}$	=	0,1₁₆

Anwendung

Das Hexadezimalsystem eignet sich sehr gut, um Folgen von Bits (verwendet in der Digitaltechnik) darzustellen. Vier Stellen einer Bitfolge (ein Nibble, auch Tetrade) werden wie eine Dualzahl interpretiert und entsprechen so einer Ziffer des Hexadezimalsystems, da 16 die vierte Potenz von 2 ist. Die Hexadezimaldarstellung der Bitfolgen ist leichter zu lesen und schneller zu schreiben:

                                  Binär       Hexadezimal           Dezimal
                                   1111  =              F  =             15    
                                 1.1111  =             1F  =             31
                      11.0111.1100.0101  =           37C5  =         14.277
                    1010.1100.1010.1011  =           ACAB  =         44.203
                  1.0000.0000.0000.0000  =         1.0000  =         65.536
1010.1111.1111.1110.0000.1000.0001.0101  =      AFFE.0815  =  2.952.661.013

Computersoftware stellt daher Maschinensprache oft auf diese Weise dar.

Konvertierung in andere Zahlensysteme

Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen

Eine Möglichkeit, eine Zahl des Dezimalsystems in eine Zahl des Hexadezimalsystems umzurechnen, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 16 geteilt wird.

Im Beispiel der 1278₁₀ sähe das so aus:

1278 : 16 = 79 Rest: 14 (= E) (Nr:1278-(79*16)=14)
  79 : 16 =  4 Rest: 15 (= F) (Nr:79-(4*16)=15)
   4 : 16 =  0 Rest:  4       (Nr:4-(0*16)=4)

Die Hexadezimalzahl wird von unten nach oben gelesen und ergibt somit 4.F.E.

Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen

Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der Zahl vor dem Komma eine Null zugeordnet wird. Dazu muss man allerdings noch die Ziffern A, B, C, D, E, F in die entsprechenden Dezimalzahlen 10, 11, 12, 13, 14, 15 umwandeln.

Beispiel für 4FE₁₆:

$4 \cdot 16^2 + 15 \cdot 16^1 + 14 \cdot 16^0 = 1278_{(10)}$

Für das Zählen und Rechnen im Hexadezimalsystem gibt es eine Eselsbrücke: A = 10 und B = 11 kann sich jeder merken. C wie zwölf, D wie dreizehn, E für vierzehn kommt vor F wie fünfzehn.

Mathematische Darstellung des Hexadezimalsystems

Formuliert im Dezimalsystem:

$h_m h_{m-1} \cdots h_0, h_{-1} h_{-2} \cdots h_{-n} = \sum_{i=-n}^m h_i \cdot {(16_{10})}^i \qquad m,n\in\mathbb{N}\quad h_i\in\{0;1;\cdots ;15\}$

Formuliert im Hexadezimalsystem:

$h_m h_{m-1} \cdots h_0, h_{-1} h_{-2} \cdots h_{-n} = \sum_{i=-n}^m h_i \cdot {(10_{16})}^i \qquad m,n\in\mathbb{N}\quad h_i\in\{0;1;\cdots ;9;A;\cdots;F\}$