Implikation

Eine Implikation (v. lat. implicare, „verwickeln“) bezeichnet:

bildungssprachlich die Einbeziehung einer Sache in eine andere; ein mitgemeinter, aber nicht explizit ausgedrückter Bedeutungsinhalt.
In der Logik die Verknüpfung von Aussagen a und b, zu einer Aussage der Form "wenn a, dann b". Es werden leider eine Reihe sehr unterschiedlicher Aussageverknüpfungen als Implikation bezeichnet, der Begriff ist daher mehrdeutig. Zum einen gibt es verschiedene objektsprachliche Implikationen, also Aussageverknüpfungen, die der künstlichen (formalen) Sprache der Logik selbst angehören. Die wichtigste von ihnen ist die materiale Implikation, daneben gibt es die intuitionistische Implikation (Subjunktion) und die strikte Implikation. Von diesen zu unterscheiden ist die metasprachliche Implikation, die also nicht der formalen Sprache selbst angehört, sondern ein Mittel ist, um über diese Sprache Aussagen zu treffen. Die metasprachliche Implikation ist auch als Ableitbarkeitsbegriff bekannt. Außerdem gibt es die Implikation als Operator in manchen Programmiersprachen.

Inhaltsverzeichnis

1 Unterschied zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Implikation
2 Objektsprachliche Implikation
3 Die metasprachliche Implikation
4 Die Implikation als Operator in der Informatik
5 Siehe auch
6 Weblinks

Unterschied zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Implikation

Die objektsprachliche Implikation (materiale Implikation, Konditional) ist ein Aussagesatz, der mittels des Junktors „(schon) wenn ... dann ...“ aus zwei kürzeren Aussagesätzen zusammengesetzt ist. Zum Beispiel ist „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“ eine materiale Implikation; diese Implikation sagt etwas über den Zusammenhang von Regen und Straßennässe aus: Nämlich dass letztere schon dann vorliegt, wenn ersterer fällt; dass also Regen eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass die Straße nass ist.

Umgekehrt ist die metasprachliche Implikation eine Aussage über Aussagen, eben eine Metaaussage. Eine metasprachliche Implikation wäre die Aussage „Aus dem Satz ‚Es regnet‘ folgt der Satz ‚Die Straße ist nass‘“. Hier wird nichts über Regen, von Nässe oder von deren Zusammenhang ausgesagt, sondern hier wird über zwei Sätze gesprochen (die ihrerseits Regen und Straßennässe thematisieren).

Objektsprachliche Implikation

Materiale Implikation (Konditional)

Schrift und Sprachkonventionen

Die materiale Implikation, auch Konditional oder (nach klassischer Logik) klassische Implikation genannt, verbindet zwei Aussagen a und b zu einer neuen Aussage, die besagt, dass a eine hinreichende Bedingung für b ist; dass also b schon dann wahr ist, wenn a wahr ist. Man sagt oft kurz: „Wenn a, dann b.“ Dieser Sprachgebrauch ist etwas unglücklich, weil die Formulierung „wenn... dann“ im Deutschen ein weites Bedeutungsfeld hat und mehrheitlich nicht für materiale, das heißt formale, sondern für inhaltliche Zusammenhänge (z. B. Kausalität) verwendet wird. Manchmal versucht man, durch Formulierungen wie „Schon wenn a, dann b“ oder „a ist eine hinreichende Bedingung für b“ Missverständnisse zu vermeiden, die aus den vielen Bedeutungen des deutschen "wenn... dann" resultieren können.

Bei der material gemeinten Implikation „(Schon) wenn a, dann b“ wird a als Vordersatz oder Antezedens, b als Nachsatz, Konsequens oder Sukzedens bezeichnet. Die Implikation zu

Es regnet

und

Die Straße wird nass

wäre damit die Aussage

Wenn es regnet, wird die Straße nass.

Alternative Formulierungen, die den materialen Charakter besser betonen, wären

Schon wenn es regnet, wird die Straße nass.

oder

Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass ist.

In der formalen Sprache der Logik wird die materiale Implikation durch einen einfachen Pfeil, gelegentlich auch durch eine Kurve ("Hufeisen", "horseshoe") symbolisiert.

Schreibweise	$a \rightarrow b$ , $a \supset b$
Sprechweise	"Wenn a, dann b"

In der polnischen Notation wird für die materiale Implikation der Großbuchstabe C verwendet, sodass die Aussage „Wenn a, dann b“ als „Cab“ geschrieben würde.

Das Gegenstück zur hinreichenden Bedingung ist die notwendige Bedingung, die besagt, dass ein Sachverhalt erforderlich, aber eben nicht ausreichend dafür ist, dass ein anderer Sachverhalt eintritt.

Beispiel: Nur wenn ich volljährig bin, darf ich wählen. Volljährigkeit ist eine notwendige Bedingung fürs Wahlrecht, ist aber nicht ausreichend: Man muss in der Regel zusätzlich die Staatsbürgerschaft des Landes haben.

Die hinreichende und die notwendige Bedingung stehen in engem Zusammenhang. Wenn ein Sachverhalt A eine hinreichende Bedingung für einen Sachverhalt B ist, dann ist B zugleich eine notwendige Bedingung für A. Anhand des Beispiels: „Nur wenn eine Person volljährig ist, darf sie wählen“ ist logisch äquivalent mit „Schon wenn eine Person wählen darf, ist sie volljährig.“ Verdeutlichen kann man sich diesen am Anfang meist als kontraintuitiv empfundenen Zusammenhang, indem man sich die Situation in einem Wahllokal vor Augen führt. Wenn man dort eine Person wählen sieht, dann kann man – auch wenn sie vielleicht sehr jung aussieht – daraus eindeutig schließen, dass sie volljährig sein muss; denn es dürfen ja nur Volljährige wählen.

Auf Grund dieses inhaltlichen Zusammenhangs drückt die materiale Implikation ebenso die notwendige wie die hinreichende Bedingung aus:

$a \rightarrow b$

wird gewöhnlich zwar gelesen als „a ist eine hinreichende Bedingung für b“ bzw. „Schon wenn a, dann b“; da das aber äquivalent ist zu „b ist eine notwendige Bedingung für a“, kann man es ebenso gut auf jene Weise lesen.

Wahrheitsbedingungen

Die materiale Implikation ist genau dann falsch, wenn das Antezedens wahr ist und das Sukzedens falsch ist. In jedem anderen Fall ist die Implikation wahr. Das Konditional „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ ist also nur dann falsch, wenn es regnet, die Straße aber nicht nass ist.

Die Festlegung, dass eine materiale Implikation nur dann falsch ist, wenn das Antezedens wahr und das Sukzedens falsch ist, führt dazu, dass die folgenden Aussagen wahr sind:

Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee weiß.

(falsches Antezedens, wahres Sukzedens)

Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee schwarz.

(falsches Antezedens, falsches Sukzedens)

Wenn London in England liegt, ist Schnee weiß.

(wahres Antezedens, wahres Sukzedens)

Diese Fälle werden vielfach als kontraintuitiv empfunden und werden daher oft Paradoxien der materialen Implikation genannt.

Die Paradoxien der materialen Implikation unterstreichen den extensionalen Charakter (siehe Junktor) der materialen Implikation: Sie behauptet keinerlei inhaltlichen Zusammenhang zwischen Antezedens und Sukzedens (es gibt auch tatsächlich keinen Zusammenhang zwischen der geographischen Lage von London und der Farbe von Schnee), vielmehr wird ihr Wahrheitswert rein extensional auf die Wahrheitswerte ihrer Teilsätze zurückgeführt: „Schon wenn das Antezedens wahr ist, ist das Konsequens auch wahr.“

Zwischen der materialen Implikation und dem natürlichsprachlichen „wenn... dann“ muss daher sehr genau unterschieden werden. Das natürlichsprachliche „wenn... dann“ hat ein weites Bedeutungsfeld und wird – jedenfalls alltagssprachlich – mehrheitlich nicht im Sinn der materialen Implikation verwendet, sondern um einen inhaltlichen (oft zum Beispiel kausalen, manchmal auch zeitlichen) Zusammenhang zwischen Antezedens und Sukzedens auszudrücken. Solche Zusammenhänge lassen sich mit der materialen Implikation nicht ausdrücken.

Auf Grund ihres extensionalen Charakters eignet sich die materiale Implikation in der Prädikatenlogik gut dazu, Aussagen des Typs "Alle Pferde sind Säugetiere" wie folgt zu formalisieren:

Schreibweise	$\forall x (P(x) \rightarrow S(x))$
Sprechweise	"Für alle x gilt: Wenn x ein Pferd ist, ist x ein Säugetier"

Eigenschaften und logische Gesetze

Die materiale Implikation

$a \rightarrow b$

ist aussagenlogisch zum Beispiel mit den folgenden Aussagen äquivalent:

$\neg a \or b$ (lies: "nicht a oder b"). Über diese Äquivalenz kann die materiale Implikation anhand von Disjunktion und Negation definiert werden.
$\neg(a \and \neg b)$ (lies: "es gilt nicht: a und nicht b"). Die materiale Implikation kann also ebenfalls anhand von Konjunktion und Negation definiert werden.
$\neg b \rightarrow \neg a$ (lies: "wenn nicht b, dann nicht a"). Man kann also die Implikation umkehren, wenn man dabei gleichzeitig Antezedenz und Sukzedenz negiert. Dieses logische Gesetz wird auch als Kontraposition bezeichnet.

Außerdem ist die Aussage a äquivalent mit $\top \rightarrow a$ und die Aussage $\neg a$ (lies: "nicht a") ist äquivalent mit $a \rightarrow \bot$ , wobei $\top$ eine beliebige Tautologie und $\bot$ eine beliebige Kontradiktion ist. Ferner sind $\bot \rightarrow a$ und $a \rightarrow \top$ äquivalent mit $\top$ .

Bezüglich der Eigenschaften der materialen Implikation ist festzuhalten: Sie ist nicht assoziativ, kommutativ, symmetrisch, antisymmetrisch oder asymmetrisch. Sie ist aber transitiv, d. h. es gilt:

aus $a \rightarrow b$ und $b \rightarrow c$ folgt $a \rightarrow c$

Außerdem ist sie reflexiv, es gilt also allgemein:

$a \rightarrow a$

Intuitionistische Implikation

Die intuitionistische Implikation kann nicht anhand der Wahrheitswerte von Antezedenz und Sukzedenz definiert werden, sie ist also nicht extensional oder wahrheitsfunktional. Stattdessen werden intensionale Semantiken verwendet, deren bekannteste und erste formalisierte die von Saul Aaron Kripke zunächst für die Modallogik entwickelte Kripke-Semantik ist. (Näheres zur Kripke-Semantik siehe Modallogik)

Die oben angeführten Äquivalenzen gelten intuitionistisch teilweise "nur in eine Richtung", d.h. insbesondere:

aus $a \rightarrow b$ folgt $\neg(a \and \neg b)$ , aber nicht umgekehrt.
aus $a \rightarrow b$ folgt $\neg b \rightarrow \neg a$ , aber nicht umgekehrt.
aus $\neg a \or b$ folgt $a \rightarrow b$ , aber nicht umgekehrt.

Anders als die materiale Implikation kann also die intuitionistische Implikation nicht über Negation und Konjunktion oder Disjunktion definiert werden.

Es gilt jedoch weiterhin, dass a äquivalent ist mit $\top \rightarrow a$ und $\neg a$ mit $a \rightarrow \bot$ , sowie dass $\bot \rightarrow a$ und $a \rightarrow \top$ äquivalent sind mit $\top$ . Wie die materiale Implikation ist auch die intuitionistische transitiv und reflexiv.

Strikte Implikation

Bei der strikten Implikation handelt es sich um die Kombination des modallogischen Notwendigkeits-Operators mit der materialen Implikation. Wie die intuitionistische Implikation ist auch die strikte nicht-wahrheitsfunktional.

Schreibweise	$\Box (a \rightarrow b)$ , $\Box (a \supset b)$
Sprechweise	"Wenn a, dann gilt notwendig b""

Die strikte Implikation ist ein Versuch, die Paradoxien der materialen Implikation (siehe oben) zu überwinden und sich auf diese Weise eher dem natürlichsprachlichen Wenn-Dann anzunähern. Die strikte Implikation ist nämlich nicht schon dann bereits wahr, wenn das Antezedens falsch oder das Sukzedens wahr ist. Es ergeben sich verschiedene strikte Implikationen, je nachdem welcher Modalkalkül zugrunde gelegt wird (siehe auch Modallogik). Die strikte Implikation ist, ebenso wie die materiale und die intuitionistische, transitiv und reflexiv.

Die metasprachliche Implikation

Die metasprachliche Implikation, der Ableitbarkeitsbegriff, ist ein Zeichen, welches man dazu verwendet anzuzeigen, dass man in einer bestimmten Logik (etwa klassischer Logik, intuitionistischer Logik etc.) eine Aussage b aus einer Aussage a ableiten kann. Das Zeichen besagt also, dass es einen Beweis für b gibt, der von a Gebrauch macht. Man sagt dann, dass b aus a folgt (oder dass a b impliziert). Dabei wird a auch als Prämisse und b als Konklusion bezeichnet. Ferner nennt man a hinreichende Bedingung für b und b notwendige Bedingung für a. Zur Symbolisierung verwendet man entweder ein „Turnstile“ genanntes Zeichen oder den Doppelpfeil.

Schreibweise	$a \vdash b$ , $a \Rightarrow b$
Sprechweise	Aus a folgt b

Da es unterschiedliche Logiken gibt, gibt es also streng genommen auch unterschiedliche metasprachliche Implikationsbeziehungen. Dies deutet man gelegentlich durch ein Subskript am Turnstile an. So könnte also $\vdash_K$ für den klassischen Ableitbarkeitsbegriff stehen $\vdash_I$ für den intuitionistischen usw.

In den allermeisten Logiken besteht zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation ein enger Zusammenhang, der im sogenannten Deduktionstheorem ausgedrückt wird. Ist nämlich „Wenn a, dann b“ beweisbar, so lässt sich b aus a herleiten; und lässt sich umgekehrt b aus a herleiten, dann ist „Wenn a, dann b“ beweisbar. Für „c ist beweisbar“ schreibt man auch $\vdash c$ . Das Deduktionstheorem kann damit wie folgt niedergeschrieben werden:

$\vdash a \rightarrow b$ gdw. $a \vdash b$

Das Deduktionstheorem gilt sowohl für die klassische, die intuitionistische als auch die strikte Implikation. Es handelt sich jedoch um keinen selbstverständlichen Zusammenhang, sondern erfordert einen (in den meisten Fällen nicht-trivialen) Beweis.

Die Implikation als Operator in der Informatik

Verschiedene Programmiersprachen kennen einen Operator für die Implikation (z. B. IMP), der an die materiale Implikation angelehnt ist. Dieser verknüpft zwei Bits wie folgt: