Integritätsring

In der Algebra ist ein Integritätsring oder Integritätsbereich ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement, das von null verschieden ist.

Alternativ kann man einen Integritätsring definieren als einen kommutativen Ring mit 1, in dem das Nullideal {0} ein Primideal ist, oder als einen Teilring eines Körpers.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele
2 Teilbarkeit, Primelemente, Irreduzibilität
3 Quotientenkörper
4 Charakteristik

Beispiele

Das bekannteste Beispiel ist der Ring $\Z$ der ganzen Zahlen.

Jeder Körper ist ein Integritätsring. Umgekehrt ist jeder artinsche Integritätsring ein Körper. Insbesondere ist jeder endliche Integritätsring ein endlicher Körper.

Ein Polynomring ist ein Integritätsring, wenn die Koeffizienten aus einem Integritätsring stammen. Zum Beispiel ist der Ring $\Z[X]$ der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ein Integritätsring, ebenso wie der Ring $\R[X,Y]$ der reellen Polynome in zwei Variablen.

Der Ring aller reellen Zahlen der Form $a+b\sqrt 2$ mit ganzen Zahlen $a, b$ ist ein Integritätsring, da er Teilring von $\R$ ist.

Ist $U\subseteq\Bbb C$ ein Gebiet (eine zusammenhängende offene Teilmenge) in den komplexen Zahlen, ist der Ring H(U) der holomorphen Funktionen $f\colon U\to\Bbb C$ ein Integritätsring.

Ist R ein kommutativer Ring und P ein Primideal in R, ist der Faktorring R/P ein Integritätsring.

Der Restklassenring $\Z/n\Z$ ist genau dann ein Integritätsring, wenn $n$ eine Primzahl ist.

Teilbarkeit, Primelemente, Irreduzibilität

Sind $a$ und $b$ Elemente des Integritätsrings $R$ , dann sagt man $a$ teilt $b$ oder $a$ ist ein Teiler von $b$ oder $b$ ist ein Vielfaches von $a$ , wenn es ein Element $x$ in $R$ gibt, so dass $a x = b$ . Man schreibt dann $a | b$ .

Gilt $a | b$ und $b | c$ , dann folgt daraus $a | c$ .
Gilt $a | b$ , dann gilt auch $a | b c$ für jedes $c\in R$ , insbesondere auch $a | - b$ .
Gilt $a | b$ und $a | c$ , dann gilt auch $a | b + c$ und $a | b - c$ .

Teilbarkeit ist also transitiv und Vielfache eines Elementes bilden ein Rechtsideal.

Die Ringelemente, die Teiler der 1 sind, heißen Einheiten von $R$ . Die Menge der Einheiten von $R$ wird mit $R *$ bezeichnet. Die Einheiten sind genau die invertierbaren Elemente. Einheiten teilen alle anderen Elemente. Gilt $a | b$ und $b | a$ , dann heißen $a$ und $b$ zueinander assoziiert. $a$ und $b$ sind genau dann assoziiert, wenn es eine Einheit $u$ gibt, so dass $a u = b$ .

Ist $q$ keine Einheit, dann heißt $q$ irreduzibel, falls $q$ nicht als Produkt zweier Nicht-Einheiten darstellbar ist, falls also aus $q = a b$ stets $a \in R^*$ oder $b \in R^*$ folgt.

Ist $p$ eine Nicht-Einheit ungleich 0, dann heißt $p$ prim (oder Primelement), falls gilt: Aus $p | a b$ folgt $p | a$ oder $p | b$ .

Ist $p$ ein Primelement von $R$ , dann ist das Hauptideal $(p)$ ein Primideal.

Jedes Primelement ist irreduzibel (für diese Aussage wird die Nullteilerfreiheit des Rings benötigt), aber nicht immer ist jedes irreduzible Element prim (z.B. im Ring $\mathbb Z[\sqrt{-3}]$ sind 2, $1+\sqrt{-3}$ und $1-\sqrt{-3}$ irreduzibel aber nicht prim). In faktoriellen Ringen (engl. unique factorization domain, UFD) ist dagegen jedes irreduzible Element prim.

Der Begriff des Primelements verallgemeinert den Begriff der Primzahl. Primzahlen werden üblicherweise als (positive) irreduzible Elemente von $\mathbb Z$ definiert, was aber nichts ausmacht, da $\mathbb Z$ faktoriell und somit jedes irreduzible Element prim ist.

siehe auch:

Teilbarkeit

Quotientenkörper

Ist R ein Integritätsring, dann existiert ein kleinster Körper Quot(R), der R als Teilring enthält. Quot(R) ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und heißt Quotientenkörper von R. Seine Elemente haben die Form a/b mit a,b in R, b ungleich 0.

Der Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen. Der Quotientenkörper eines Körpers ist der Körper selbst.

Quotientenkörper kann man über Lokalisierungen an $R\setminus 0$ konstruieren.

Abstrakt definiert man Quotientenkörper durch folgende universelle Eigenschaft: Ein Quotientenkörper ist ein Paar $(K,φ)$ , wobei $φ$ ein Ringhomomorphismus von R nach K ist mit der Eigenschaft: Für jeden Körper L und Ringhomomorphismus $\psi\colon R\to L$ gibt es genau einen Körperhomomorphismus $\alpha\colon K\to L$ mit $\psi = \alpha\circ\phi$ .

Charakteristik

Die Charakteristik eines Integritätsrings ist entweder 0 oder eine Primzahl.

Ist R ein Integritätsring mit der Primzahl-Charakteristik p, dann ist die Abbildung $f:R\to R,\;x\mapsto x^p$ ein injektiver Ringhomomorphismus und heißt Frobeniushomomorphismus.