Intervall (Mathematik)

Ein Intervall ist eine Teilmenge einer Menge von Objekten, die definierte Nachbarn haben, sodass folgendes gilt:

das Intervall ist die leere Menge oder
das Intervall enthält genau ein Element oder
das Intervall enthält mehr als ein Element und alle Elemente des Intervalls sind miteinander benachbart.

Wenn von einem echten Intervall die Rede ist, sind die ersten beiden Möglichkeiten ausgeschlossen.

Beispielsweise existiert das Intervall {5,6,7,8,9} als Teilmenge der natürlichen Zahlen. Für Mengen, die man anordnen kann, reicht es aus, wenn man das größte und kleinste Element des Intervalls angibt. Hierdurch ist das Intervall eindeutig bestimmt.

Man muss (zumindest in der Anschauung) Intervalle von Mengen, deren Elemente kontinuierlich angeordnet sind (z. B. die reellen Zahlen), von diskreten Mengen (z. B. ganze Zahlen) unterscheiden. Bei kontinuierlichen Zahlen gibt es keine Nachbarn, sodass der Begriff der Umgebung wichtig wird. Hier werden auch offene und abgeschlossene Intervalle (s. u.) unterschieden.

Schreibweisen

Es existieren zwei verschiedene häufig verwendete Intervallschreibweisen. Bei einer der beiden verwendet man für ein offenes Ende runde und für ein geschlossenes Ende eckige Klammern, bei der anderen Schreibweise werden geschlossene Enden ebenfalls durch eckige Klammern gekennzeichnet, offene Enden dagegen durch gespiegelte eckige Klammern. Im Folgenden werden beide Schreibweisen verwendet und der sogenannten Mengenschreibweise gegenübergestellt:

- Kompaktes Intervall. Ein kompaktes Intervall ist abgeschlossen (auch geschlossen genannt) und beschränkt. Das Intervall enthält sowohl a als auch b.

- Offenes (, beschränktes) Intervall. Das Intervall enthält weder a noch b.

- Halboffenes, genauer rechtsoffenes (, beschränktes) Intervall. Das Intervall enthält a, aber nicht b.

- Halboffenes, genauer linksoffenes (, beschränktes) Intervall. Das Intervall enthält nicht a, wohl aber b.

- Linksseitig unendliches abgeschlossenes Intervall. Enthält alle Zahlen die kleinergleich b sind (und ist wirklich abgeschlossen, trotz der einseitigen Offen-Schreibweise). Analog dazu gibt es rechtsseitig unendliche offene oder abgeschlossene Intervalle.

Bei obiger Definition wird übrigens nicht $a\leq b$ gefordert, sodass für $a > b$ jedes Intervall leer ist. Daneben existieren auch je nach Anwendung Definitionen, die solche Intervalle nicht erlauben oder im Falle $a > b$ einfach die Grenzen vertauschen.

Zur Vermeidung von Verwechslungen mit dem Dezimalkomma wird als Trennzeichen auch das Semikolon (;) oder ein senkrechter Strich (|) verwendet, z.B.

$(0, 2{,}5] = (0; 2{,}5] = (0\;\!|\;\!2{,}5]\,.$

Verallgemeinerung

In der Topologie sind reelle Intervalle Beispiele für zusammenhängende Mengen. Offene Intervalle sind offene Mengen und abgeschlossene Intervalle sind abgeschlossene Mengen. Halboffene Mengen sind weder offen noch abgeschlossen.

Alle hier für die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ gemachten Schreibweisen lassen sich direkt auf beliebige total geordnete Mengen übertragen.