Isometrie

Dieser Artikel behandelt die mathematische Funktion. Zur Darstellungsart siehe Isometrische Projektion, zur Muskelkontraktion siehe Isometrische Kontraktion.

Eine Isometrie ist in der Mathematik eine Funktion, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik erhält.

Sind zwei metrische Räume $(M 1, d 1)$ , $(M 2, d 2)$ gegeben, und $f : M_1 \rightarrow M_2$ eine Abbildung mit der Eigenschaft

d 2 (f (x), f (y)) = d 1 (x, y)

dann heißt $f$ eine Isometrie von $M 1$ nach $M 2$ . Eine solche Abbildung ist stets injektiv. Ist $f$ sogar bijektiv, dann heißt $f$ ein isometrischer Isomorphismus, und die Räume $M 1$ und $M 2$ heißen isometrisch isomorph. Andernfalls nennt man $f$ eine isometrische Einbettung von $M 1$ in $M 2$ .

Jeder metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines normierten Vektorraums, und jeder vollständige metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachraums.

Gilt $M 1 = M 2$ und $d 1 = d 2$ und werden durch $f$ zwei Figuren aufeinander abgebildet, so heißen die Figuren kongruent zueinander. Gilt $M 1 = M 2$ und $d_1 \neq d_2$ , so heißen sie ähnlich; ansonsten spricht man einfach von isometrischen Figuren.