Karo (Mengenlehre)

$\Diamond$ (Karo) ist ein "kombinatorisches" Prinzip in der Mengenlehre.

Definition

Für jede unendliche Kardinalzahl $κ$ ist $\Diamond_\kappa$ eine Abkürzung für die folgenden Aussage:

es gibt eine Folge $\langle A_\alpha: \alpha \in \kappa \rangle$ mit folgenden Eigenschaften:

für alle $α$ gilt $A_\alpha \subseteq \alpha$
für alle $A \subseteq \kappa$ ist die Menge $\{\alpha \in \kappa : A \cap \alpha = A_\alpha\}$ ein stationäre Teilmenge von $κ$ .

Statt $\Diamond_{\omega_1}$ schreibt man oft nur $\Diamond$ .

Zusammenhang mit CH und GCH

Man zeigt leicht, dass aus ◊ die Kontinuumshypothese CH folgt. Allgemeiner folgt aus $\Diamond_{\kappa^+}$ die Gleichung $2 κ = κ +$ . Aus CH kann man ◊ nicht folgern, aber aus $2 κ = κ +$ zusammen mit $κ ω = κ$ kann man $\Diamond_{\kappa^+}$ schließen. Aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH folgt also $\Diamond_{\kappa^+}$ für alle $κ$ mit überabzählbarer Kofinalität.