Komplexifizierung

In der linearen Algebra ist eine Komplexifizierung eine Operation, die einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum zuordnet, der sehr ähnliche Eigenschaften hat.

Dazu definiert man $V_\mathbb{C} = V \oplus iV$ . Hierbei ist i zunächst ein formales Symbol ohne weitere Bedeutung. Auf dem neuen Raum wird die Multiplikation und Addition für $\alpha,\beta\in\mathbb{R}, x,x',y,y'\in V$ definiert durch:

$(α + β i)(x, y i) = (α x - β y, i (β x + α y)$ )
$(x, y i) + (x', y' i) = (x + x',(y + y') i)$

Auf $V_\mathbb{C}$ gibt es die komplexe Konjugation $\overline{x + yi} = x + (-y)i = x - yi$
V lässt sich als Untervektorraum von $V_\mathbb{C}$ auffassen, wobei $x + yi \in V_\mathbb{C}$ genau dann in V ist, wenn $\overline{x + yi} = x + yi$ gilt.

Tensorprodukte

Man kann die Komplexifizierung auch durch das Tensorprodukt definieren:

$V_\mathbb{C} = V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$ .

Dann ist die Skalarmultiplikation mit $z \in \mathbb{C}$ durch $\operatorname{id} \otimes z$ gegeben.

Bilinearformen und Skalarprodukte

Zu einer Bilinearform $\Phi: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ gibt es eine Sesquilinearform $\Phi_\mathbb{C}: V_\mathbb{C} \times V_\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ gegeben durch $\Phi_\mathbb{C}(x + yi, x' + iy') = \Phi(x,x') + \Phi(y,y') + i(\Phi(y,x') - \Phi(x,y'))$ . Es gilt $\Phi_{\mathbb{C}|V \times V} = \Phi$ , die Einschränkung von $\Phi_\mathbb{C}$ auf $V \times V$ ist also wieder $Φ$ .

$Φ$ ist genau dann ein reelles Skalarprodukt, wenn $\Phi_\mathbb{C}$ ein komplexes Skalarprodukt ist.

Da das komplexe Skalarprodukt einfacher zu beschreiben ist als das reelle, komplexifiziert man es, um dann im komplexen Raum weiterzuarbeiten.

Lineare Abbildungen

Jede $\mathbb{R}$ -lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$ liefert eine $\mathbb{C}$ -lineare Abbildung $f_\mathbb{C}: V_\mathbb{C} \rightarrow W_\mathbb{C}$ mit $f_\mathbb{C} (x + yi) = f(x) + f(y)i$ . Dabei gilt:

$f_\mathbb{C}(\overline{z}) = \overline{f_\mathbb{C}(z)}$ für alle $z \in V_\mathbb{C}$
$(id_V)_\mathbb{C} = id_{(V_{\mathbb{C}})}$
$(f \circ g)_\mathbb{C} = f_\mathbb{C} \circ g_\mathbb{C}$
Ist $x j$ eine Basis von V, so ist $x j + 0 i$ Basis von $V_\mathbb{C}$ .
Die Matrix zu f bezüglich x_j ist gleich der Matrix zu $f_\mathbb{C}$ bezüglich $x j + 0 i$ .
f und $f C$ haben das selbe charakteristisches Polynom
$f C$ hat alle Eigenwerte von f.

Ist V euklidisch mit Skalarprodukt $Φ$ und ist $V_\mathbb{C}$ der dazugehörige unitäre Vektorraum $V_\mathbb{C}$ mit $\Phi_\mathbb{C}$ so gilt: $(f^*)_\mathbb{C} = (f_\mathbb{C})^*$ .

$f: V \rightarrow V$ hat genau dann eine folgenden Eigenschaften wenn sie auch $f_\mathbb{C}: V_\mathbb{C} \rightarrow V_\mathbb{C}$ hat:

normal $(f f * = f * f)$
selbstadjungiert $(f = f *)$
antiselbstadjungiert $(f = - f *)$
Isometrie zu sein $(f f * = i d)$

Komplexifizierte Matrizen sind häufig einfacher zu beschreiben, als das reelle Original, so ist zum Beispiel jede komplexe Matriz trigonalisierbar. wobei die obenerwähnten normalen Matrizen sich sogar diagonalisieren lassen.

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