Magnetostatik

Die Magnetostatik ist ein Teilgebiet der Elektrodynamik. Sie behandelt zeitlich konstante Magnetfelder (Magnetische Gleichfelder). In der Magnetostatik wird die räumliche Verteilung von Magnetfeldern in der Umgebung von Dauermagneten und von stationären Strömen (Konzept des Stromfadens) untersucht. Hierzu gehören neben den einzelnen magnetischen Eigenschaften der Stoffe wie Ferromagnetismus, Diamagnetismus etc. auch das Erdmagnetfeld. Außerdem beinhaltet die Magnetostatik die Kraftwirkung derartig erzeugter Felder auf Magnete und Ströme. Hierzu gehört das Verhalten eines magnetischen Dipols in einem zeitlich konstanten Magnetfeld; beispielsweise das Verhalten einer (frei beweglichen) Magnetnadel im Erdmagnetfeld. Die Grundbegriffe sind der Elektrostatik analog. Der positiven und negativen elektrischen Ladung entspricht Nordpol und Südpol bzw. positive und negative Polstärke eines Magneten. Im Gegensatz zur Elektrostatik können magnetische Polstärken nicht isoliert werden, sondern treten in einem Körper immer zusammen auf.

Für zeitlich konstante Felder entkoppeln die Gleichungen für E- und B-Felder. Setzt man in den Maxwellgleichungen alle Zeitableitungen gleich 0, so entstehen Gleichungen, die nicht gleichzeitig E und B enthalten. Die Phänomene der Magnetostatik lassen sich mit folgenden zwei reduzierten Maxwellgleichungen beschreiben:

I) $\nabla \cdot \vec B = 0$

II) $\nabla \times \vec B = \mu \vec j$

Man führt das Vektorpotential $\vec A$ als Hilfsfeld mit folgender Definition ein:

$\vec B = \nabla \times \vec A$

Dadurch wird automatisch die Gleichung $\nabla \cdot \vec B = 0$ erfüllt, da die Divergenz eines Rotationsfeldes identisch 0 ist $\nabla \cdot \left( {\nabla \times \vec A} \right) \equiv 0$ .

$\vec A$ ist jedoch nicht eindeutig bestimmt, da $\vec B$ invariant ist unter einer Eichtransformation $χ$ mit $\vec A' = \vec A + \nabla \chi$ . D.h. die durch A und A' festgelegten B-Felder sind identisch. Dies ergibt sich aus

$\vec B' = \nabla \times \vec A' = \nabla \times \vec A + \nabla \times \nabla \chi = \nabla \times \vec A = \vec B$ ,

da die Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes verschwindet.

Setzt man $\vec B = \nabla \times \vec A$ in die inhomogene Maxwellgleichung (obige Gleichung II)

$\mu \vec j = \nabla \times \nabla \times \vec A = \nabla \left( {\nabla \cdot \vec A} \right) - \Delta \vec A$

ein, so ergibt sich mit der Coulomb-Eichung $\nabla \cdot \vec A = 0$ die besonders einfache Form:

$\Delta \vec A = - \mu \vec j$

Dies stellt für jede Komponente eine Poisson-Gleichung dar, die durch

$\vec {A}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{{4\pi}}\int d^3r'\frac{\vec j(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

gelöst wird.

Wendet man die Rotation auf A an so erhält man das Biot-Savart-Gesetz für das physikalisch relevante B-Feld

$\vec B\left( {\vec r} \right) = \nabla _{\vec r} \times \vec A\left( {\vec r} \right) = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\int {\nabla _{\vec r} \times \frac{{\vec j\left( {\vec r'} \right)}}{{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}}} d^3 r' = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\int {\left( {\nabla _{\vec r} \frac{1}{{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}}} \right) \times } \vec j\left( {\vec r'} \right)d^3 r' = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\int {\vec j\left( {\vec r'} \right) \times \frac{{\vec r - \vec r'}}{{\left| {\vec r - \vec r'} \right|^3 }}d^3 r'}$