Mittelpunkt

Dieser Artikel behandelt den Mittelpunkt in der Geometrie; für andere Bedeutungen siehe Zentrum.

Der Begriff Mittelpunkt wird in der Geometrie in folgenden Zusammenhängen gebraucht:

Bei einer Strecke, einem Kreis, einer Kugel oder allgemein bei einer n-dimensionalen Sphäre ist der Mittelpunkt der Punkt, der von allen Punkten dieser Sphäre den gleichen (minimalen) Abstand besitzt. Diese Definition kann man allgemein in (vollständigen) metrischen Räumen vornehmen.

Bei durch Quadriken beschriebenen Flächen zweiter Ordnung (z.B. Ellipsoide oder Kegel) sind die Mittelpunkte der Quadrik die Fixelemente einer Spiegelung, welche die vorgegebene Fläche in sich selbst überführt . Eine Quadrik kann keinen, genau einen oder eine ganze Gerade oder Ebene von Mittelpunkten haben. Hat sie genau einen Mittelpunkt, wird sie als Mittelpunktsquadrik bezeichnet.

Umgangssprachlich wird der Begriff Mittelpunkt auch häufig im Sinne von Schwerpunkt benutzt.

Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck, Zentrum, Optischer Mittelpunkt

Beschreibung durch Koordinaten

Strecke

Ist der Endpunkt und der Anfangspunkt einer Strecke bekannt, so kann man die Koordinaten des Mittelpunktes über die Beziehungen $\mathrm{x_m = \frac{x_1+x_2}{2}}$ , $\mathrm{y_m = \frac{y_1+y_2}{2}}$ bzw. zusätzlich bei einer Strecke im Raum mit $\mathrm{z_m = \frac{z_1+z_2}{2}}$ ermitteln.

Kreis/Kugel

Ist eine Kreisgleichung der Form $\mathrm{r^2 = (x-a)^2+(y-b)^2}\,$ gegeben, so kann man die Koordinaten des Mittelpunktes direkt angeben über $\mathrm{M(a,b)}\,$ . Bei einer Kugel wird die Gleichung um die Z-Achse erweitert: $\mathrm{r^2 = (x-a)^2+(y-b)^2}+(z-c)^2\,$ . Der Mittelpunkt ist somit $\mathrm{M(a,b,c)}\,$ .