Monomorphismus

Monomorphismus ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der Algebra und der Kategorientheorie. Er verallgemeinert den Begriff der injektiven Abbildung, erlaubt es also, Objekte als "Unterobjekte" von anderen aufzufassen.

Man beachte, dass die universelle Algebra und die Kategorientheorie zwei nicht äquivalente, zu "Monomorphismus" duale Begriffe definieren, die beide den Namen Epimorphismus tragen.

Monomorphismen algebraischer Strukturen

Ein Homomorphismus von

Vektorräumen oder allgemeiner Module
oder (abelschen) Gruppen
oder Ringen oder Körpern
oder allgemein algebraischen Strukturen

ist ein Monomorphismus, wenn er injektiv ist.

Beispiele

Die Abbildung $h\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\quad h\left(x,y\right)=\left(x,y,x+y\right)$ ist ein Vektorraum-Monomorphismus.
Die Abbildung $g\colon\left(\mathbb{C},+\right)\to\left(\mathbb{R},+\right)\quad g\left(z\right) = Re\left(z\right)$ ist zwar ein Gruppen-Homomorphismus, aber nicht injektiv.
Ein Homomorphismus von Gruppen, Ringen oder Moduln (insbesondere Vektorräumen) ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist. Für einen beliebigen Homomorphismus $f\colon A\to B$ von Gruppen, Ringen oder Moduln (bzw. Vektorräumen) ist
$A/{\ker f}\to B$
ein Monomorphismus.
Homomorphismen von Körpern sind stets injektiv.

Monomorphismen in beliebigen Kategorien

In der Kategorientheorie ist ein Monomorphismus ein Morphismus $f\colon X\to Y$ mit folgender Eigenschaft:

Sind $g,h\colon T\to X$ beliebige Morphismen mit $f\circ g=f\circ h$ , dann folgt

g = h

(Man sagt auch:

f

ist links kürzbar).

$X$ (zusammen mit $f$ ) heißt dann ein Unterobjekt von $Y$ .

In Kategorien von algebraischen Strukturen sowie in den Kategorien der Mengen oder der topologischen Räume sind die Monomorphismen genau die injektiven Morphismen. Es gibt aber auch konkrete Kategorien mit nicht-injektiven Monomorphismen.

Beispiel eines nicht injektiven Monomorphismus

Wir betrachten die Kategorie Div der teilbaren Gruppen: Die Objekte sind die abelschen Gruppen G, für die folgendes gilt:

Für alle a in G und alle n in N, n > 0, existiert ein b in G mit a = nb; das Element a lässt sich also "durch n teilen".

Die Morphismen sind die Gruppenhomomorphismen zwischen diesen Gruppen.

Die abelschen Gruppen $(\mathbb{Q}, +)$ und $(\mathbb{Q} / \mathbb{Z}, +)$ liegen in dieser Kategorie. Die kanonische Projektion $\pi: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ ist surjektiv, aber nicht injektiv. Wir zeigen, dass sie ein Monomorphismus in Div ist. Sei dazu X irgendeine teilbare Gruppe und $a, b: X \to \mathbb{Q}$ zwei Morphismen mit der Eigenschaft $\pi \circ a = \pi \circ b$ . Diess bedeutet, dass für jedes Element x von X gilt: $a(x) - b(x) \in \mathbb{Z}$ . Wäre nun $a \neq b$ , dann gäbe es ein x in X mit $t:=a(x)-b(x)\neq 0$ . Falls $t < 0$ ist, vertausche die Rollen von a und b, so dass im folgenden $t > 0$ ist. Da X teilbar ist, gibt es ein y in X mit $x = 2t\cdot y$ . Dann ist aber

$t = a(x)-b(x) = a(2t\;y)-b(2t\;y) = 2t(a(y)-b(y))$ , also

a (y) - b (y) = 1 / 2

und das ist ein Widerspruch zur Ganzheit der Differenz_ von a und b.

Spezielle Monomorphismen

Ein Monomorphismus f heißt extremal, wenn er zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:

Ist f= g o m, und m ist ein Epimorphismus, dann muss m ein Isomorphismus sein.

In den Kategorien Set und Grp sind die extremalen Monomorphismen gerade die Monomorphismen.

In der Kategorie Top sind die extremalen Monomorphismen die Einbettungen (bis auf Homöomorphismus). In der Kategorie Top₂ sind die extremalen Monomorphismen die abgeschlossenen Einbettungen (bis auf Homöomorphismen).

In der Kategorie BanSp₁ sind die extremalen Monomorphismen genau diejenigen linearen stetigen injektiven Abbildungen f, für die es ein positives m gibt so dass für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:

$m||x||\leq ||f(x)||$