Orthonormalbasis

Eine Orthonormalbasis eines Prähilbertraums ist in der linearen Algebra und der Funktionalanalysis eine Teilmenge dieses Vektorraums, deren Elemente normiert (also Einheitsvektoren) und paarweise orthogonal (daher auch Orthonormalbasis) zueinander sind.

Der Begriff ist sowohl im Fall endlicher Dimension als auch für unendlich-dimensionale Räume, insbesondere Hilberträume, von großer Bedeutung.

Endlich-dimensionale Räume

Eine Orthonormalbasis eines Vektorraums $V$ ist eine Basis $B = b 1,..., b n$ von $V$ , für die gilt:

Für alle $b_i \in B$ gilt $\|b_i\| = 1.$
Für alle $b_i, b_j \in B, i \ne j$ gilt $\langle b_i, b_j \rangle = 0.$

(Mit $\langle . , . \rangle$ ist hier das innere Produkt gemeint, mit $\|.\|$ die Norm.)

Beispielsweise ist für den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum $\mathbb{R}^3$ die Menge

$\vec i = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vec j = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\vec k = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

eine Orthonormalbasis: Jeder dieser Vektoren hat die Länge 1, und je zwei dieser Vektoren stehen senkrecht aufeinander, denn ihr Skalarprodukt ist 0.

Die Orthonormalbasis ${\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}}$ im $\mathbb{R}^3$ und ein mit ihr dargesteller Vektor $\mathbf{r} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$

Allgemeiner Fall

(Eine anwendungsorientierte Herleitung zu diesem Thema bietet der Abschnitt zur Verallgemeinerung im Artikel Fouriertransformation)

Im allgemeinen Fall eines Prähilbertraums $V$ unendlicher Dimension, insbesondere eines Hilbertraums, nennt man ein Orthonormalsystem $S$ in $V$ , dessen lineare Hülle dicht in $V$ liegt, vollständig bzw. Orthonormalbasis. Ein vollständiges Orthonormalsystem $S$ hat damit die Eigenschaft, dass für jedes $v \in V$ die Fourierentwicklung möglich ist, d. h. es gilt

$v=\sum_{u \in S} \langle v, u \rangle u$ .

Damit ist eine Orthonormalbasis ein wichtiger Spezialfall einer Schauderbasis.

Es ist zu beachten, dass im Sinne dieses Abschnitts, im Gegensatz zur endlichen Dimension, eine Orthonormalbasis keine Hamelbasis ist, d. h. ein Element aus v lässt sich nicht notwendigerweise mit endlich vielen Linearkombinationen aus $S$ , wohl aber mit abzählbar unendlich vielen, darstellen - mit anderen Worten, die lineare Hülle ist nicht gleich $V$ , liegt aber dicht in V. Jeder Vektorraum besitzt eine Hamelbasis, die aber möglicherweise überabzählbarer Mächtigkeit und von keinem praktischen Nutzen ist.

Allgemein findet man für Innenprodukträume und vollständige Innenprodukträume folgende Sätze:

In einem Innenproduktraum $V$ ist ein Orthonormalsystem genau dann eine Orthonormalbasis, wenn die Parseval'sche Gleichung

$\|x\|^2=\sum_{v\in B}|\langle x,v\rangle|^2$ für alle $x \in V$ erfüllt ist.

Jeder separable Innenproduktraum (nicht der Nullraum) besitzt eine Orthonormalbasis, die von höchstens abzählbarer Mächtigkeit ist.
In einem Hilbertraum $V$ ist ein Orthonormalsystem $S$ genau dann eine Orthonormalbasis, wenn es maximal ist, d.h. wenn für alle x aus V folgende Implikation gilt:

$\left( \langle x, s \rangle = 0 \ \forall s \in S \right) \Rightarrow x=0$ .

Jeder Innenproduktraum (nicht der Nullraum) besitzt maximale Orthonormalsysteme, und wenn es ein Hilbertraum ist, somit auch Orthonormalbasen.
Ein Hilbertraum besitzt genau dann eine abzählbare Orthonormalbasis, wenn er separabel ist.

Insbesondere besitzt also jeder separable und jeder vollständige Innenproduktraum eine Orthonormalbasis.