Parabel (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Parabel (v. griech.: παραβολή parabole = das Daneben-Gehende; der Vergleich, v. altgriech.: paraballein = nebeneinanderstellen) eine Kurve, genauer ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet, die parallel zu einer Erzeugenden des Kegels ist. (Wenn die Ebene selbst eine Tangentialebene des Kegels ist, erhält man eine Gerade als degenerierte Parabel)

Außerdem stellen die Funktionsgraphen von quadratischen Funktionen Parabeln dar.

Darstellungsformen

Neben der oben genannten Definition als Kegelschnitt kann eine Parabel auch als Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden:

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte $X$ , deren Abstand zu einem festen Punkt (dem Brennpunkt $F$ ) und einer Geraden (der Leitgeraden $l$ ) gleich ist.

$\operatorname{par} = \left\{X |\overline{XF} = \overline{Xl}\right\}$

Jener Punkt, der in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitel $A$ der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel wird Achse der Parabel genannt. Sie ist die einzige Symmetrieachse.

Das Koordinatensystem wird im Folgenden so festgelegt, dass A die Koordinaten (0,0) und F die Koordinaten (0,f) besitzt. Für jeden Punkt $P (x, y)$ auf der Parabel gilt dann $\overline{PF}=\overline{PQ}$ und damit

$\sqrt{(y-f)^2+x^2}=y+f$ .

Hieraus folgt der funktionale Zusammenhang zwischen $x$ und $y$ für alle Punkte $P (x, y)$ :

$y=x^2 \frac{1}{4f}$

Jede quadratische Funktion der Form $y = a x 2$ ist somit eine Parabel mit dem Brennpunkt $F(0,\frac{1}{4a})$ .

Eigenschaften

Da die Parabel nur von einem Parameter abhängig ist (dem Abstand von Leitgerade und Brennpunkt $2 f$ bzw. dem Parameter $a$ in der Gleichung), sind alle Parabeln zueinander ähnlich. Geometrisch gedeutet ist der Parameter die Länge jener Parabelsehne, die senkrecht zur Achse ist und durch den Brennpunkt geht; sie ist 4-mal größer als der Abstand zwischen Brennpunkt und Parabelscheitel.

Die Unterschiede in der Krümmung entstehen nur durch das Vergrößerungsverhältnis. Insbesondere ist die numerische Exzentrizität ε $= 1$ und die lineare Exzentrizität oder Brennweite $e = a$ .

Parabeln können als Grenzfall einer Ellipse oder einer Hyperbel angesehen werden, wenn ein Brennpunkt fix ist und der andere unendlich weit in die eine oder andere Richtung entfernt wird.

Wird ein Strahl, der parallel zur Achse einfällt, an der Parabel gespiegelt, so geht der resultierende Strahl durch den Brennpunkt, und umgekehrt. Die Geraden durch einen Punkt der Parabel und den Brennpunkt nennen wir dann Brennlinie, Leitstrahl, oder Brennstrahl des Punktes. Diese Eigenschaft hat auch ein Rotationsparaboloid, also die Fläche, die entsteht, wenn man eine Parabel um ihre Achse dreht; sie wird häufig in der Technik verwendet (siehe Parabolspiegel).

Beweis:

Die Steigung der Tangente an die Parabel $y = a x 2$ im Punkt $P (x, y)$ ergibt sich zu:

$m = 2 a x$

Die Nullstellen der Tangenten $t$ erhält man mit Hilfe der allgemeinen Geradengleichung über:

$t : y' = m x' + l$

Für die Tangente durch einen beliebigen Punkt $P (x, a x 2)$ der Parabel gilt:

$l = y' - m x' = a x 2 - (2 a x) x = - a x 2$

und damit für die Tangentengleichung:

$t : y' = (2 a x) x' - a x 2$

Die Nullstelle $G (g,0)$ der Tangente (für $a\not\neq{}0, x\not\neq{}0$ ) lautet somit:

$0 = (2ax)x' - ax^2 \Leftrightarrow{} x' = \frac{x}{2}$

Also der Punkt $G(\frac{x}{2},0)$ . Dieser liegt also genau in der Mitte zwischen $F$ und $Q (x, - f)$ . Damit wird das gleichschenklige Dreieck $Δ F P Q$ in zwei kongruente Dreiecke zerlegt. Die Reflexion an der Parabel entspricht der Reflexion an der Tangente.

Der Einfallswinkel $\angle GPQ$ ist gleich dem Ausfallswinkel $\angle FPG$ . Damit treffen alle Strahlen auf

F

Jedes Teilchen, das sich in einem gleichförmigen Gravitationsfeld ohne Einwirkung anderer Kräfte bewegt (zum Beispiel ein Baseball, wenn man den Luftwiderstand ignoriert), folgt einer parabelförmigen Bahn (Wurfparabel). In radialsymmetrischen Gravitationsfeldern, wie sie idealerweise um einen Himmelskörper herrschen, ist die Parabel eine der Lösungen einer Keplerbahn.

Parabeln als Funktionsgraphen

Manchmal werden alle Graphen von Polynomfunktionen als Parabeln bezeichnet. Zum Beispiel ist der Graph eines Polynoms von Grad 4 eine Parabel 4. Ordnung. Mit der Definition der Parabel als Kegelschnitt stimmen nur Parabeln zweiter Ordnung, also $f(x)=ax^2+bx+c\$ , überein.

Scheitelform

Die Scheitelform oder Scheitelpunktform ist in der Mathematik eine spezielle Darstellung der Parabelfunktion. Mit ihr kann man den tiefsten bzw. höchsten Punkt einer Parabel ablesen.

Die Scheitelpunktsfunktion in der allgemeinen Form: $f(x) = a \cdot ( x - c )^2 + d$

Das Extremum

Anhand der Scheitelpunktsform kann man direkt die Lage des Scheitelpunktes, also des einzigen Extremwerts S(c|d) erkennen. f(c) = d gibt damit also den Extremwert an.

Stauchung und Streckung

Durch den Koeffizienten a wird die Stauchung bzw. Streckung der Parabel und die Art der Extremstelle ausgedrückt. Die Normalparabel wird durch den Faktor $a \in \mathbb{R}$ gestreckt. Daraus ergeben sich die folgenden Möglichkeiten.

a > 1: Streckung bzgl. y-Achse
a = 1: Normalparabel
1 > a > 0: Stauchung bzgl. y-Achse
a = 0: Die Funktion ist keine Parabel sondern eine Konstante (bzw. unendlich stark gestaucht)
0 > a > -1: Stauchung bzgl. y-Achse, Spiegelung bzgl. x-Achse
a = -1: Spiegelung der Normalparabel bzgl. x-Achse
a < -1: Streckung bzgl. y-Achse, Spiegelung bzgl. x-Achse

Beispiele

$f(x) = 2 \cdot x^2 + 2 \ = 2 \cdot (x - 0)^2 + 2; \quad a=2 \wedge c=0 \wedge d=2 \Rightarrow S(0|2)$
$f(x) = x^2 + 4x + 4 \ = 1 \cdot (x - (-2))^2 + 0; \quad a=1 \wedge c=(-2) \wedge d=0 \Rightarrow S(-2|0)$