Partielle Funktion

Eine partielle Funktion von der Menge X in die Menge Y ist eine Relation, in der jedes Element in der Menge X mit höchstens einem Element in der Menge Y in Relation steht.

Eine solche partielle Funktion kann auch als Funktion einer Teilmenge von X nach Y aufgefasst werden: $f : C \to Y, \quad C \subseteq X$ .

Die Bezeichnung partielle Funktion ist leicht irreführend, da eine partielle Funktion keine Funktion im Sinne der Mathematik ist. Der Begriff hat sich jedoch in der Informatik und verwandten Gebieten eingebürgert. Anders formuliert ist eine partielle Funktion an einigen Stellen bewusst undefiniert, in vielen Anwendungen sind dies endlich viele Stellen oder zumindest auf die Definitionsmenge eine Nullmenge. Eine partielle Funktion lässt sich zu einer echten mathematischen Funktion machen, (a) indem man die Definitionsmenge auf die Menge der Elemente in X einschränkt, die einem Y-Wert zugeordnet werden, oder (b) indem man noch ein spezielles Element undefiniert zum Wertebereich hinzunimmt, welches der Wert der Funktion an den undefinierten Stellen ist.

Beispiele

Die Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) := \frac{1}{x}$ ist an der Stelle x = 0 undefiniert, weil die Division durch 0 undefiniert ist.
partiell rekursive Funktionen
ein unbeschränkter linearer Operator

Bemerkungen

Man schreibt die Definition partieller Funktionen in der theoretischen Informatik oft als $f : \subseteq A \to B$ . Ist f an einer Stelle x undefiniert, so schreibt man zuweilen kurz $f (x) = div$ . Eine Registermaschine, deren Maschinenfunktion f ist, terminiert für ein solches Argument x nicht, z.B. weil sie eine Endlosschleife durchläuft.