Pfaffsche Determinante

In der Mathematik kann die Determinante einer schiefsymmetrischen Matrix immer als das Quadrat eines Polynoms der Matrizeneinträge geschrieben werden. Dieses Polynom wird die Pfaffsche Determinante der Matrix genannt. Die Pfaffsche Determinante ist nur für schiefsymmetrische $2n \times 2n$ -Matrizen nichtverschwindend. In diesem Fall ist sie ein Polynom des Grades $n$ .

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele
2 Formale Definition
- 2.1 Alternative Definition
3 Eigenschaften
4 Anwendungen
5 Geschichte
6 Weblinks

Beispiele

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix} \end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$

Formale Definition

Sei Π die Menge aller Partitionen von {1, 2, …, 2n} in Paare ohne Beachtung der Reihenfolge. Es gibt (2n − 1)!! solcher Partitionen. Ein Element α ∈ Π, kann geschrieben werden als

$\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}$

miti_k < j_k und $i_1 < i_2 < \cdots < i_n$ . Sei

$\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}$

eine korrespondierende Permutation und sei sgn(α) die Signatur von π. Diese hängt nur von der Partition α ab und nicht von der Wahl einer Permutation π.

Sei A = {a_ij} eine schiefsymmetrische 2n×2n-Matrix. Mit einer gegebenen Permutation α wie oben definiert erhält man

$A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$

Wir können die Pfaffsche Determinante A definieren als

$\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.$

Die Pfaffsche Determinante eine schiefsymmetrischen n×n-Matrix ist für ungerade n als Null definiert.

Alternative Definition

Man kann zu jeder schiefsymmetrischen 2n×2n-Matrix A ={a_ij} einen Bivektor assoziieren:

$\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.$

wobei {e₁, e₂, …, e_2n} die Standardbasis für R²ⁿ ist. Die Pfaffsche Determinante ist definiert durch

$\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n},$

hierbei bezeichnet ωⁿ das Keilprodukt von n Kopien von ω mit sich selbst.

Eigenschaften

Für eine schiefsymmetrische 2n×2n-Matrix A und eine beliebige 2n×2n-Matrix B gilt

$Pf(A) 2 = det(A)$

$Pf(B A B T) = det(B)Pf(A)$

$Pf(λ A) = λ n Pf(A)$

$Pf(A T) = ( - 1) n Pf(A)$

Für eine blockdiagonale Matrix

$A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$

gilt Pf(A₁⊕A₂) = Pf(A₁)Pf(A₂).

Für eine beliebige n×n-Matrix M gilt:

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

Anwendungen

Die Pfaffsche Determinante ist ein invariantes Polynom einer schiefsymmetrischen Matrix (Hinweis: Sie ist nicht invariant bei einem allgemeinen Wechsel der Basis, sondern nur bei einer orthogonalen Transformation). Als solche ist sie wichtig für die Theorie der Charakteristische Klassen. Sie kann insbesondere benutzt werden um die Eulerklasse einer Riemannschen Mannigfaltigkeit zu definieren. Diese wird in dem Satz von Gauß-Bonnet benutzt.

Die Anzahl der perfekten Paarungen in einem planaren Graphen entspricht dem Absolutwert einer pfaffschen Determinante, welche in polynomialer Zeit berechenbar ist. Dies ist insbesondere deshalb überraschend weil das Problem für allgemeine Graphen sehr schwer ist (Sharp-P-Vollständig). Das Ergebnis wird in der Physik benutzt um die Partitionsfunktion des Isingmodells von Spingläsern zu berechnen. Dabei ist der zugrundeliegende Graph planar. Vor kurzem wurde sie auch benutzt um effiziente Algorithmen für sonst anscheinend unlösbare Probleme zu entwickeln. Dazu zählt die effiziente Simulation von bestimmten Typen Quanten-Berechnungen.

Geschichte

Der Begriff Pfaffsche Determinante wurde von Arthur Cayley geprägt, der ihn 1852 benutzte: "The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term Pfaffians." (zu Ehren des deutschen Mathematikers Johann Friedrich Pfaff).