Polytop

Polytop bezeichnet in der Geometrie ein verallgemeinertes Polygon in beliebiger Dimension. Wie das Polygon besteht auch das Polytop aus mehreren Punkten im Raum (Ecken), die durch Kanten verbunden sein können. Mehrere Kanten wiederum spannen die Seitenflächen des Polytops auf, die planare Polygone sind, wie etwa ein Quadrat (Hexaeder) oder ein Dreieck (Tetraeder). Ein konvexes Polytop ist ein beschränktes Polyeder.

Beispiele für Polytope mit der Dimension 3

Einige Polytope mit regelmäßigen Polygonen als Seitenflächen haben besondere Namen, entsprechend dem griechischen Wort für die Anzahl ihrer Seitenflächen. Hier am Beispiel der Platonischen Körper, bei denen an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Seitenflächen aneinanderstößt:

Tetraeder (4 gleichseitige Dreiecke)
Hexaeder (6 Quadrate, also ein Würfel)
Oktaeder (8 gleichseitige Dreiecke)
Dodekaeder (12 regelmäßige Fünfecke)
Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke)

Konvexe Polytope

Ein konvexes Polytop (oft auch nur Polytop) ist die konvexe Hülle einer endlichen Menge von Punkten. Formal ist also eine Menge $M\subseteq \R^n$ ein konvexes Polytop, wenn sie sich in der Form

$M=\mathrm{conv}(\{x_1,\dots,x_k\})$ mit $x_1,\dots,x_k\in\R^n$

darstellen lässt. Konvexe Polytope spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der linearen Optimierung.

In gewissen Dimensionen haben konvexe Polytope spezielle Namen erhalten, wie sie in folgender Tabelle aufgelistet sind:

Dimension	Name des d-Polytops
0	Ecke
1	Kante
2	Polygon
3	Polyeder
4	Polychor

Betrachtet man ein Polytop der Dimension d, dann existieren folgende Bezeichnungen:

Dimension	Name des Polytops
d - 3	?
d - 2	Grat (z.B. Kante (d=1) eines Tetraeders (d=3))
d - 1	Facette (z.B. Seitenfläche (d=2) eines Würfels (d=3); Kante (d=1) eines Polygons (d=2)...)
d	d-Polytop
d + 1	?