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Proportionalität

Eine proportionale Funktion ist eine homogene lineare Zuordnung zwischen Argumenten $x$ und ihren Funktionswerten $y$ , d. h. es gilt der Zusammenhang

$y = m \cdot x$ .

Man sagt auch $x$ und $y$ stehen im gleichen Verhältnis zueinander. Die Funktion ist dadurch gekennzeichnet, dass der Graph eine Gerade ist, die durch den Ursprung verläuft. Der Faktor m in der Gleichung gibt die Geradensteigung an, man nennt ihn auch den Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante.

Ein proportionaler Zusammenhang

Die Tabelle gibt die Masse verschiedener Volumina von Öl an (siehe auch das Bild rechts):

Volumen x in m³	Masse y in t
3	2,4
4	3,2
7	5,6

Berechnet man den Quotienten y/x, so erhält man stets den gleichen Wert, nämlich die Systemkonstante Dichte = Masse/Volumen = 0,8 t/m³. Allgemein gibt der Quotient y/x die Steigung m der Geraden an und ist zugleich der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung. Auch der umgekehrte Quotient ist konstant und eine Proportionalitätskonstante, in diesem Fall das spezifische Volumen. Hier erhält man im Beispiel Volumen/Masse = 1,25 m³/t, also wie viel Volumen eine Tonne des Öls einnimmt.

Den Kalkül zur Berechnung proportionaler Funktionen nennt man den Dreisatz (früher auch: Regeldetri).

Direkte bzw. indirekte (oder umgekehrte) Proportionalität

Macht man beispielsweise die Variable c von a und b abhängig, so sind a und b direkt proportional zu c, wenn $c = a \cdot b$ gilt. Gilt hingegen $c = \frac ab\quad$ , so ist a direkt, b jedoch indirekt (oder umgekehrt) proportional zu c.

Die direkte Proportionalität gibt einen direkten Zusammenhang zweier Größen an - in obenigem Beispiel das Volumen und die Masse. Erhöht sich der Wert der einen größe, wird auch der Wert der anderen Größe (durch die Abhängigkeit beider voneinander) größer. Mehr Volumen bedeutet mehr Öl. Mehr Öl hat natürlich eine größere Masse.

Bei der indirekten (umgekehrten) Proportionalität tritt genau der gegenteilige Fall auf: Wenn der Wert der einen Größe zunimmt, verringert sich der Wert der davon abhängigen anderen Größe.

Als Beispiel kann hier eine Baustelle dienen. Ein Bagger braucht fünf Minuten, um ein Loch von 4 Kubikmetern auszuheben. Wenn mehr Bagger am Loch arbeiten, geht die Arbeit natürlich schneller vorran. So brauchen 5 Bagger zusammen nur noch eine Minute für ein Loch gleicher Größe.