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Prozent

Einheit
Norm	Hilfsmaßeinheit
Name	Prozent
Einheitenzeichen	$%$
Dimension	1 (dimensionslos)
Beschriebene Größe(n)	Verhältnis
Formelzeichen der beschriebenen Größe(n)	$p$
In SI-Einheiten	$1\,\% = 10^{-2} = 0{,}01$
Benannt nach	lat. per centum (Hundertstel)
Siehe auch: Promille

Zahlenangaben in Prozent (lat.-it. vom Hundert, Hundertstel^[1]) dienen der Veranschaulichung und dem Vergleichbarmachen von Größenverhältnissen, indem sie immer zum selben Grundwert (Hundert) in Beziehung gesetzt werden. Daher wird das Prozent auch als Hilfsmaßeinheit für Verhältnisgrößen verwendet. Prozentangaben werden durch das Symbol % kenntlich gemacht (z. B. 22,6 %), wobei immer ein Leerzeichen zwischen die Zahl und das Prozentzeichen zu setzen ist ^[2].

In Gesetzestexten verwendet man üblicherweise die Ausdrücke „vom Hundert“ (abgekürzt: vH oder v. H.) und „Prozentpunkt“. Das DIN empfiehlt jedoch, diese Ausdrücke zu vermeiden.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Verständnis
3 Umrechnung zwischen Zahlen- und Prozentwerten
- 3.1 Prozentwert in Zahlenwert umrechnen
- 3.2 Zahlenwert in Prozentwert umrechnen
4 Beispiele
5 Eingabe am Taschenrechner
6 Das Prozentzeichen
7 Quellen
8 Siehe auch

Definition

Ein Prozent ist der hundertste Teil eines Ganzen, also: 1 % = 0,01
Hundert Prozent sind ein Ganzes, also: 100 % = 1

Verständnis

Prozentangaben erfüllen die gleiche Funktion wie die Formulierungen „ein Halb“ oder „ein Viertel“, usw.. Dabei entsprechen „ein Halb“ 50 Prozent und „ein Viertel“ 25 Prozent. Prozentangaben können aber auch feinere Mengenverhältnisse ausdrücken, z. B. „22,5 von 100“ = 22,5 Prozent, was dem 0,225-fachen des Ganzen entspricht.

Genau wie "ein Halb" oder "ein Viertel" drücken auch Prozentangaben ein Verhältnis zu einem Grundwert aus: ein Halb wovon? 50 Prozent wovon?

Die Ausdrücke „um“ und „auf“ sind zu unterscheiden:

„Mein Gehalt ist um 5 Prozent gestiegen.“ bedeutet das gleiche wie „Mein Gehalt ist auf 105 Prozent gestiegen.“
„Die Miete ist um 3 Prozent gesunken.“ bedeutet das gleiche wie „Die Miete ist auf 97 Prozent gesunken.“
„Der Verbrauch ist um ein Viertel gesunken.“ bedeutet das gleiche wie „Der Verbrauch ist auf drei Viertel des vorherigen gesunken.“

Vergleicht man Prozentwerte, kann man dies in Prozentpunkten ausdrücken:

„Der Anteil der Miete an meinen Ausgaben ist dieses Jahr um 5 Prozentpunkte gestiegen.“

Dies kann bedeuten, dass der Anteil an den Ausgaben von 20 Prozent auf 25 Prozent gestiegen ist, aber auch von 30 Prozent auf 35 Prozent usw. Das Beispiel bedeutet, dass der Betrag der Miete gestiegen ist oder dass die sonstigen Ausgaben gesunken sind (oder beides).

Umrechnung zwischen Zahlen- und Prozentwerten

Prozentwert in Zahlenwert umrechnen

Das Prozent-Symbol % durch $\tfrac{1}{100}$ ersetzen. (Das geht, weil 1 % das Gleiche ist wie $\tfrac{1}{100}$ )

Beispiel:

50 % ist das gleiche wie $50 \cdot \tfrac{1}{100}$ , also $\tfrac{50}{100}$ , also $\tfrac{1}{2}$ .

Zahlenwert in Prozentwert umrechnen

Den Zahlenwert mit 100 % multiplizieren. (Das geht, weil 100 % das Gleiche ist wie 1.)

Beispiel:

$\tfrac{3}{4}$ ist das gleiche wie $\tfrac{3}{4} \cdot 100\,%$ , also $\tfrac{3 \cdot 100}{4} %$ , also $75\,%$ .

Beispiele

Mehrwertsteuer

Ein alltägliches Beispiel ist die Berechnung der Mehrwertsteuer. Diese ist definiert durch den Wert eines Produktes (Nettobetrag) multipliziert mit einem Mehrwertsteuersatz, der in Prozent angegeben wird. Der Grundwert dieser Prozentangabe ist also der Nettobetrag. Die Summe von Nettobetrag und Mehrwertsteuer ergibt den Bruttobetrag:

Mehrwertsteuer = Nettobetrag ∙ Mehrwertsteuersatz

Bruttobetrag = Nettobetrag + Mehrwertsteuer

Sind 100 Euro der Nettobetrag und der Mehrwertsteuersatz beträgt 20 % (wie in Österreich), so errechnet man die Mehrwertsteuer durch:

100 Euro ∙ 20 % = 20 Euro

was dasselbe ist wie

100 Euro ∙ 0,2 = 20 Euro

Demzufolge errechnet sich der Bruttobetrag:

100 Euro + 20 Euro = 120 Euro

Wenn man weiß, dass 20 % dasselbe ist wie 0,2 vom Ganzen, lässt sich leicht einsehen, dass der Bruttobetrag das 1,2-fache des Nettobetrages ist, also

Bruttobetrag = Nettobetrag ∙ 1,2

Deshalb lässt sich durch Umstellung dieser Formel aus dem Bruttobetrag der Nettobetrag einfach errechnen durch

Nettobetrag = Bruttobetrag / 1,2

Die im Bruttobetrag enthaltene Mehrwertsteuer beträgt

Mehrwertsteuer = Bruttobetrag - Nettobetrag

also

Mehrwertsteuer = Bruttobetrag - Bruttobetrag / 1,2

Sprachgebrauch

„Im Rechnungsbetrag sind 20 % Mehrwertsteuer enthalten“

bedeutet, dass der Mehrwertsteuersatz 20 % beträgt und der Rechnungsbetrag der Bruttobetrag ist, also Nettobetrag plus Mehrwertsteuer. Korrekt müsste es daher lauten: „Im Rechnungsbetrag ist die Mehrwertsteuer mit einem Mehrwertsteuersatz von 20 % enthalten“

„Die Mehrwertsteuer beträgt 20 %“

Falsch, sollte eigentlich heißen „der Mehrwertsteuersatz beträgt 20 %“.

„20 % des Rechnungsbetrages sind Mehrwertsteuer“

Falsch (wenn der Mehrwertsteuersatz 20 % beträgt), da es sich beim Rechnungsbetrag um den Nettowert plus Mehrwertsteuer handelt. Von einem Betrag von beispielsweise 120 Euro sind 20 % gleich 24 Euro. Tatsächlich beträgt die enthaltene Mehrwertsteuer hier aber 20 Euro und macht rund 16,667 % des Rechnungsbetrages aus.

Steigung in Prozent

10 % Steigung sind 10 m Höhenunterschied auf einer horizontalen Strecke von 100 m

Im Straßenverkehr wird die Steigung (bzw. das Gefälle) in Prozent angegeben. Diese Prozentangabe drückt das Verhältnis von Höhenunterschied und waagerechter Strecke aus. Eine Steigung von 100 % bedeutet demzufolge einen Steigungswinkel von 45°.

Finanzmathematik

In der Finanzmathematik wird das Symbol p in dieser Formel durch 100 geteilt. Damit will man die Umrechnung direkt in die Formel einbauen. Mathematisch betrachtet ist dies jedoch ein Rechenfehler bei der Umwandlung innerhalb eines Einheitensystems und ist nicht SI-Konform (siehe Umrechnung zwischen Zahlen- und Prozentwerten). Die Summe aller Prozentsätze p_x muss hierbei immer 1 (100 %) ergeben:

∑	p_x = 1
x

Die Summe aller Prozentwerte W_x ergibt den Grundwert:

∑	W_x = K
x

Eingabe am Taschenrechner

Taschenrechner unterschiedlicher Bauart und Hersteller behandeln die Tastatureingabe einer Prozentrechnung unterschiedlich. Dies kann zu Verwirrungen bzw. dazu führen, dass Benutzer von Taschenrechnern bei Prozentrechnungen auf die Prozenttaste verzichten und eher auf den Dreisatz zurückgreifen.

Das Prozentzeichen

Das Prozent-Zeichen entstand aus „cto“, der italienischen Abkürzung für „cento“. Der obere Kreis war ursprünglich das „c“, der Schrägstrich das „t“ und der untere Kreis das „o“.

In der Informatik wird das %-Zeichen (zweckentfremdet) meist für die Operation Modulo verwendet oder zur Kennzeichnung von Sonderzeichen (URL-Kodierung) z. B. in Webadressen.